Réponse :

Explications étape par étape

Partie 1

1) On voit que 7*1-6*1=1  donc une solution particulière est x=1 et y=1

2) L'astuce est de faire un système avec la solution particulière

On soustrait membre à membre

Comme 6 et 7 sont premier en eux donc x-1≡0(6) soit x≡1 (6)

Donc x= 6k+1 avec k∈Z et en remplaçant dans la dernière relation on a y=7k+1

Donc S={(6k+1;7k+1), k∈Z}

Partie B

1) on remarque que

Donc si on retrouve l'équation de la partie 1

Il faut simplement que x et y soit entier donc n≥1 et m≥1

On suppose m≤4

1e cas m=0

L'équation F devient impossible. Il n'y a pas de solutions

2e cas m≠0

On a donc ≡ 1 (7) d"après partie A

≡1(7) , ≡2(7), ≡4(7) et ≡1(7)

Donc seul m-1=0 et m-1=3 conviennent.

Si m=1  on a

Si m=4 on a

Il y a donc exactement 2 couples solution

2) on suppose que m≥5

Donc

Si n et m vérifie F alors

≡ 1 (32) mais ≡ 0 (32) donc

≡ 1 (32)

b)

≡ 1 (32) , ≡ 7 (32) , ≡ 31 (32), ≡ 23 (32), ≡ 1 (32)

Donc

≡ 1 (32)

≡ 7 (32)

≡ 31 (32)

≡ 23 (32)

Donc n est nécessairement multiple de 4 pour vérifier F

c)

Puisque n est multiple de 4 on a  

≡ 1(5)

Donc ≡ 1(5)

d)

On remarque que -3≡2(5)

On doit avoir pour F

≡ 1 (5)

≡ 1 (5)

≡ 0 (5)

Or 2 est premier avec 5. Donc il n' a pas de solutions possibles

3.

En conclusion il n'y a que 2 solutions (1;1) et (2;4)