Bonjour, pourriez-vous m'aider pour mon exercice sur les congruences :
Exercice de spé maths TS :
On pose Aₓ =
- x, x ∈ N.
1) Montrer que Aₓ est pair.
2) Montrer que Aₓ est divisible par 3.
3) En utilisant les congruences modulo 5, démontrer que Aₓ est divisible par 5.
4) Pourquoi Aₓ est-il divisible par 30 ?
Exercice de spé maths TS :
On pose Aₓ =
1) Montrer que Aₓ est pair.
2) Montrer que Aₓ est divisible par 3.
3) En utilisant les congruences modulo 5, démontrer que Aₓ est divisible par 5.
4) Pourquoi Aₓ est-il divisible par 30 ?
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Bonjour,Aₓ = x⁵ - x
1) Aₓ = x(x⁴ - 1)
Si x est pair, x⁴ est pair et donc (x⁴ - 1) est impair ⇒ x(x⁴ - 1) est pair
Si x est impair, (x⁴ - 1) est pair ⇒ x(x⁴ - 1) est pair
2) Aₓ = x(x⁴ - 1)
= x(x² - 1)(x² + 1)
= x(x - 1)(x + 1)(x² + 1)
Le produit de 3 nombres entiers consécutifs est divisible par 3.
Donc (x - 1)x(x + 1) est divisible par 3
⇒ Aₓ est divisible par 3
3)
x ≡ r (5)
avec r ∈ {0,1,2,3,4}
. si x ≡ 0 (5), x⁵ ≡ 0 (5) donc x⁵ - x ≡ 0 (5)
. si x ≡ 1 (5), x⁵ ≡ 1 (5) donc x⁵ - x ≡ 0 (5)
....
donc en une ligne :
quelque soit r, x ≡ r (5) ⇒ x⁵ ≡ r⁵ (5) ⇒ x⁵ - x ≡ r⁵ - r (5) ⇒ x⁵ - x ≡ 0 (5)
4) divisible par 2, 3 et 5 qui sont premiers entre eux
donc divisible par 2x3x5 = 30