Réponse :

10) résoudre dans R les équations

a) x³ = 64 ⇔ x³ - 64 = 0 ⇔ x³ - 4³ = 0   Identité remarquable

a³-b³ = (a-b)(a² + ab + b²)

x³ - 4³ = (x -4)(x² + 4 x + 16) = 0   Produit de facteurs nul

⇒ x-4 = 0 ⇒ x = 4   OU   x² + 4 x + 16 = 0

Δ = 16 - 64 = - 48 < 0 ⇒ pas de solutions dans R

b) x³ = - 0.008 ⇔ x³ + 0.008 = 0 ⇔ x³ + (0.2)³ = 0  identité remarquable

a³+ b³ = (a+b)(a² - ab + b²) = 0

x³+ (0.2)³ = (x + 0.2)(x² - 0.2 x + 0.04) = 0

⇒ x + 0.2 = 0 ⇒ x = - 0.2   OU   x² - 0.2 x + 0.04 = 0

Δ = 0.04 - 0.16 = - 0.12 < 0 pas de solutions

c) x³ > 1/8 ⇔ x³ - 1/8 > 0 ⇔ x³ - (1/2)³ > 0  identité remarquable

a³ - b³ = (a-b)(a²+ab+b²)

x³ - (1/2)³ = (x - 1/2)(x² + (1/2) x + 1/4) > 0 ⇒ x - 1/2 > 0 ⇒ x > 1/2

x² + 1/2 x + 1/4 = 0

Δ = 1/4 - 1 = - 3/4 < 0  pas de solutions donc le signe de cette expression dépend du signe de a = 1 > 0  donc  x² + 1/2) x + 1/4 > 0

l'ensemble des solutions est :  S =]1/2 ; + ∞[

11) résoudre dans R les inéquations:

a) x³ ≥ 0 ⇒ x ≥ 0  l'ensemble des solutions est :  S = [0 ; + ∞[

b) - 1 ≤ x³ ≤ 0.027

- 1 ≤ x³ ⇔ x³ + 1 ≥ 0 ⇔ (x + 1)(x² - x + 1) ≥ 0 ⇒ x + 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ - 1

l'ensemble des solutions est : S = [- 1 ; + ∞[

x² - x + 1 = 0    Δ = 1 - 4 = - 3 < 0 pas de racine  donc le signe de cette équation dépend du signe de a = 1 > 0 ⇒ x² - x + 1 > 0

x³≤ 0.027 ⇔ x³ - 0.027 ≤ 0 ⇔ x³ - (0.3)³ ≤ 0 ⇔ (x - 0.3)(x² + 0.3 x + 0.09) ≤ 0

⇒ x - 0.3 ≤ 0 ⇒ x ≤ 0.3 ⇒ l'ensemble des solutions : S = ]- ∞ ; 0.3]

x² + 0.3 x + 0.09 > 0

Explications étape par étape