Bonjour;

1.

A ' B ' = A ' B + B B '

= 2 A B + C B car A est le milieu de [B A '] et B milieu de [C B ']

= 2 A B  - BC .

B ' C ' = B ' C + C C '

= 2 B C  + D C car C est le milieu de [D C '] et B milieu de [C B ']

= 2 B C + A B car ABCD est un carré et D C =  A B .

2.

Calculons tout d'abord D ' C ' :

D ' C ' = D ' D + D C '

= D A + 2 D C car D est le milieu de [D A '] et C milieu de [D C ']

= - A D + 2 D C = - B C + 2 A B car ABCD est un carré et A D =  A B

et D C = AB.

On remarque que A ' B ' = D ' C ' , donc le quadrilatère ABCD est un parallélogramme .

On a tout d'abord : A B . B C = B C . A B = 0 car A B et B C sont orthogonaux (ABCD est un carré) .

On a : A ' B ' . B ' C ' = (2 A B - B C) . (2 B C  + A B)

= 4 A B . B C + 2 A B . A B - 2 B C . B C - B C . A B

=        0          +       2 AB²   -     2 BC²     -        0  = 0 ;

donc A ' B ' et B ' C ' sont orthogonaux , donc A ' B ' C ' D ' est un rectangle .

On a en fin : A ' B ' ² = (2 A B - B C)² = 4 AB² + BC² - 4 AB . BC

= 4 AB² + AB² - 0 = 5 AB² ;

et B ' C ' ² = (2 B C  + A B)² = 4 BC² + AB² + 4 B C . A B

= 4 AB² + AB² + 0 = 5 AB² ;

donc on a : A ' B ' ² = B ' C ' ² ; donc A ' B ' C ' D ' est un carré .

3.

ABCD est un carré donc son aire est : AB² , et A ' B ' C ' D ' est

aussi un carré , donc son aire est : B ' C ' ² ; donc le rapport des

aires est : (B ' C ' ²)/(A ' B ' ²) = 5 .