Bonjour,

• Question 1 : Calculer HI

Prenons le triangle IML. H appartient à (IM) et K appartient à (IL) : nous avons donc le triangle IHK dans IML.

Nous savons que (HK) et (ML) sont parallèles.

Or, d'après le théorème de Thalès :

[tex]\frac{IK}{IL} = \frac{IH}{IM} = \frac{HK}{ML}[/tex]     soit    [tex]\frac{IK}{IL} = \frac{IH}{IM}[/tex]

Or on sait que :
IM = 7,5 cm
IK = 2,5 cm
IL = IK + KL     avec KL = IJ = 2cm      donc IL = 2,5 + 2 = 4,5 cm

Donc nous avons :

[tex]HI = \frac{IK*IM}{IL} = \frac{2,5*7,5}{4,5} = 4,5 cm[/tex]

• Question 2 : Calculer GI

Prenons le triangle GHI rectangle en H.

D'après le théorème de Pythagore :

[tex]GI^{2} = GH^{2} + HI^{2}[/tex]

Or on sait que :
GH = 3 cm
HI = 4,5 cm (on vient de le calculer)

Donc nous avons :

[tex]GI^{2} = 3^{2} + 4,5^{2} = 9 + 20,25 = 29,25[/tex]

[tex]GI = \sqrt{29,25 } = 5,4 cm[/tex]

• Question 3 : Démontrer que (GH) et (JK) sont parallèles

D'après la réciproque de Thalès, si (GH) et (JK) sont parallèles, elles doivent répondre à l'équation suivante :

[tex]\frac{JK}{GH} = \frac{IJ}{IH} = \frac{IK}{GI}[/tex]   soit  (avec nos données)  [tex]\frac{IJ}{IH} = \frac{IK}{GI}[/tex]

Or on sait que :
IJ = 2 cm
IH = 4,5 cm (on l'a calculé plus haut)
IK = 2,5 cm
GI = 5,4 cm (on l'a calculé plus haut)

Donc on va calculer séparément les 2 côtés de l'équation :

[tex]\frac{IJ}{IH} = \frac{2}{4,5} = 0,45[/tex]cm

[tex]\frac{IK}{JI} = \frac{2,5}{5,4} = 0,46[/tex]cm

Nous avons fait des arrondis d'où les valeurs très légèrement différentes mais nous estimons qu'elles sont pareilles. D'après la réciproque du théorème de Thalès : (GH) et (JK) sont parallèles.

En espérant t'avoir aidé, n'hésites pas si tu as des questions. Bon courage et bonne journée. (: