1. Soit l'équation (E) : x³-5x = 3 Donc x³-5x-3 = 0 Soit la fonction f continue et définie de [-1;0] dans [f(-1);f(0)] par f(x) = x³-5x-3 f est dérivable sur [-1;0] avec f'(x) = 3x²-5 L'extremum de f' est atteint en α = -0/(2*3) = 0 f'(-1) = 3(-1)²-5 = -2 et f'(0) = 3(0)²-5 = -5 f' étant alors strictement décroissante et continue en [-1;0], on en déduit que f' est négative sur [-1;0] Donc f est strictement décroissante et continue en [-1;0] Or f(-1) = 1 et f(0) = 0³-5*0-3 = -3, d'où 0∈[f(-1);f(0)] Donc d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (aussi appelé théorème de la bijection), l'équation f(x) = 0 admet une unique solution dans [-1;0] Donc l'équation x³-5x-3 = 0 admet une unique solution dans [-1;0] Donc l'équation x³-5x = 3 admet une unique solution dans [-1;0] Donc l'équation (E) admet une unique solution dans [-1;0]
2. Premier pointillé : x+0.01 Second pointillé : x³-5x
3. Il existe en effet deux autres solutions n'appartenant pas à [-1;0], mais je te laisse le justifier pour que tu puisses t’entraîner (Indication : faire l'étude de la fonction f dans ℝ, puis utiliser le théorème de la bijection pour chaque intervalle autre que [-1;0] où f est strictement monotone) Pour les modifications d'algorithme : Pour la première solution, il faut remplacer "x←x+0.01" par "x←x-0.01" Pour la deuxième solution, il faut remplacer "x←-1" par "x←0", et il faut aussi remplacer "TantQue y > 3" par "TantQue y < 3"
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Bonjour,1. Soit l'équation (E) : x³-5x = 3
Donc x³-5x-3 = 0
Soit la fonction f continue et définie de [-1;0] dans [f(-1);f(0)] par f(x) = x³-5x-3
f est dérivable sur [-1;0] avec f'(x) = 3x²-5
L'extremum de f' est atteint en α = -0/(2*3) = 0
f'(-1) = 3(-1)²-5 = -2 et f'(0) = 3(0)²-5 = -5
f' étant alors strictement décroissante et continue en [-1;0], on en déduit que f' est négative sur [-1;0]
Donc f est strictement décroissante et continue en [-1;0]
Or f(-1) = 1 et f(0) = 0³-5*0-3 = -3, d'où 0∈[f(-1);f(0)]
Donc d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (aussi appelé théorème de la bijection), l'équation f(x) = 0 admet une unique solution dans [-1;0]
Donc l'équation x³-5x-3 = 0 admet une unique solution dans [-1;0]
Donc l'équation x³-5x = 3 admet une unique solution dans [-1;0]
Donc l'équation (E) admet une unique solution dans [-1;0]
2. Premier pointillé :
x+0.01
Second pointillé :
x³-5x
3. Il existe en effet deux autres solutions n'appartenant pas à [-1;0], mais je te laisse le justifier pour que tu puisses t’entraîner (Indication : faire l'étude de la fonction f dans ℝ, puis utiliser le théorème de la bijection pour chaque intervalle autre que [-1;0] où f est strictement monotone)
Pour les modifications d'algorithme :
Pour la première solution, il faut remplacer "x←x+0.01" par "x←x-0.01"
Pour la deuxième solution, il faut remplacer "x←-1" par "x←0", et il faut aussi remplacer "TantQue y > 3" par "TantQue y < 3"