Réponse :

Bonjour

1) f'(x) = 1 + (-2eˣ)/(eˣ + 1)² = [(eˣ + 1)² - 2eˣ]/(eˣ + 1)²

  f'(x) =( (eˣ)² +1)/(eˣ + 1)²

2) (eˣ + 1)² > 0 et (eˣ)² + 1 >0, donc ((eˣ)² + 1)/(eˣ + 1)² >0

f'(x) > 0 , donc f est strictement croissante sur R

3) T₀ : y = f'(0)(x - 0) + f(0)

⇔ T₀ : y = 0,5x + 4

4) Etudions le signe de f(x) - (x + 3)

f(x) - (x + 3) = x + 3 + 2/(eˣ + 1) - x - 3 = 2/(eˣ + 1)

or eˣ >0 , donc eˣ + 1 >0 , et donc 2/(eˣ + 1) > 0

La courbe C est donc toujours au dessus de la droite d'équation y = x + 3