Bonjour pouvez-vous m’aider ? Je n’ai pas appris à justifier, je sais juste dériver. Merci !
On considère la fonction f définie sur R par
f(x)=e^x-x-1.
Justifier que f est dérivable sur R puis étudier les
variations de la fonction f sur R.
On considère la fonction f définie sur R par
f(x)=e^x-x-1.
Justifier que f est dérivable sur R puis étudier les
variations de la fonction f sur R.
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Explications étape par étape:
Bonjour !
Pour montrer que f est dérivable sur R, il faut montrer que la limite du taux d'accroissement de f en x quand h tend vers 0 existe.
Soit x un réel quelconque. Le taux d'accroissement de f en x est donné par :
(f(x+h)-f(x))/h = (e^(x+h)-(x+h)-1-e^x+x+1)/h
= (e^x(e^h-1)-h)/h
= e^x((e^h-1)/h)-1
Or, on sait que lim (e^h-1)/h = 1 quand h tend vers 0, donc :
lim (f(x+h)-f(x))/h = e^x lim (e^h-1)/h - 1 = e^x - 1
Donc f est dérivable sur R et sa dérivée est f'(x) = e^x - 1.
Pour étudier les variations de f sur R, on commence par étudier le signe de sa dérivée. f'(x) est positive sur ]0, +infini[ et négative sur ]-infini, 0[. Donc f est croissante sur ]0, +infini[ et décroissante sur ]-infini, 0[.
Il reste à étudier les variations de f sur chaque intervalle. On peut par exemple utiliser le tableau de variations suivant :
x | -infini | 0 | +infini
f'(x) | - | 0 | +
f(x) | -infini | -1 | +infini
On voit que f admet un minimum en x=0, qui vaut f(0)=-1. En outre, f tend vers +infini quand x tend vers -infini et quand x tend vers +infini.