Bonjour je bloque sur la question 2, pourriez-vous m’aider ?
Lorentz place une somme de 1 000 euros au taux simple
annuel de 5 %; c'est-à-dire que chaque année, la
somme placée augmentera de 5 % de la somme initiale.
Pour tout entier naturel n, u, désigne le capital de
Lorentz n années après son placement.
1. Déterminer u1, u2, u3
2. Exprimer un+1 en fonction de un.
3. Prouver que la suite (u) est arithmétique. Donner sa
raison et son premier terme u.
4. En déduire une expression de un en fonction de n.
Lorentz place une somme de 1 000 euros au taux simple
annuel de 5 %; c'est-à-dire que chaque année, la
somme placée augmentera de 5 % de la somme initiale.
Pour tout entier naturel n, u, désigne le capital de
Lorentz n années après son placement.
1. Déterminer u1, u2, u3
2. Exprimer un+1 en fonction de un.
3. Prouver que la suite (u) est arithmétique. Donner sa
raison et son premier terme u.
4. En déduire une expression de un en fonction de n.
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Réponse :1-Pour calculer le capital de Lorentz après n années, on peut utiliser la formule suivante pour le taux simple :
u = C*(1 + r*n)
Où:
• u est le capital après n années
• C est le capital initial (dans ce cas, 1000 euros)
• r est le taux d'intérêt annuel en décimal (dans ce cas, 0,05)
• n est le nombre d'années
En utilisant cette formule, on peut calculer u1, u2 et u3 comme suit :
• u1 = 1000*(1 + 0,05*1) = 1050 euros
• u2 = 1000*(1 + 0,05*2) = 1100 euros
• u3 = 1000*(1 + 0,05*3) = 1150 euros
Ainsi, après un an, le capital de Lorentz sera de 1050 euros, après deux ans il sera de 1100 euros et après trois ans il sera de 1150 euros.
2-On peut utiliser la même formule que précédemment pour exprimer un+1 en fonction de un, en remplaçant n par n+1 :
u = C*(1 + r*n)
Donc :
u(n+1) = C*(1 + r*(n+1))
En remplaçant C par 1000 et r par 0,05, on obtient :
u(n+1) = 1000*(1 + 0,05*(n+1))
En développant, on obtient :
u(n+1) = 1000*(1 + 0,05n + 0,05)
u(n+1) = 1000 + 50n + 50
u(n+1) = 1050 + 50n
Ainsi, on peut exprimer un+1 en fonction de un :
un+1 = 1050 + 50n
3- Pour prouver que la suite (u) est arithmétique, il faut vérifier que la différence entre deux termes consécutifs est constante. Pour cela, on peut calculer u(n+1) - un pour n ≥ 1 :
u(n+1) - un = (1050 + 50n) - (1000 + 50(n-1))
u(n+1) - un = 50
On constate que la différence entre deux termes consécutifs est constante et égale à 50. Donc, la suite (u) est arithmétique.
Le premier terme de la suite est u1 = 1000*(1+0,05*1) = 1050 euros.
4-Comme la suite (u) est arithmétique, on peut utiliser la formule de la suite arithmétique :
un = u1 + (n-1)*r
Où :
• u1 est le premier terme de la suite
• r est la raison de la suite (dans ce cas, r = 50)
• n est le rang du terme cherché
En substituant les valeurs, on obtient :
un = 1050 + (n-1)*50
un = 1000 + 50n
Ainsi, l'expression de un en fonction de n est :
un = 1000 + 50n
Verified answer
Réponse :
Explications étape par étape :
■ Uo = Capital initial = 1000 €uros
■ U1 = Uo + (Uo x 5 / 100) = 1000 + 50 = 1050 €uros
U2 = 1050 + 50 = 1100 €uros
U3 = 1150 €
U4 = 1200 €
...
■ formule :
Un+1 = Un + 50 .
■ U4 - U3 = U3 - U2 = U2 - U1 = U1 - Uo = 50 €uros
la suite (Un) est bien arithmétique
de terme initial Uo = 1000 €uros,
et de raison r = 50 €uros .
■ Un = Uo + 50n = 1000 + 50n .