Réponse : Bonjour,

On suppose que a et b, ne sont pas divisibles par 3, donc il existe , tel que , ou , , ou .

Il y a donc 4 cas:

i) Si , et .

Alors:

Le reste de la division euclidienne de a+b par 3, étant égal à 2, donc a+b, n'est pas divisible par 3.

, donc est divisible par 3.

ii) Si , et .

Alors:

, donc a+b est divisible par 3.

iii) Si , et .

Alors:

Donc a+b est divisible par 3.

iv) Si , et .

Alors:

Le reste de la division euclidienne de a+b par 3, étant égal à 1, donc a+b n'est pas divisible par 3.

, donc a-b est divisible par 3.

Donc si a et b ne sont pas divisibles par 3, alors au moins un des nombres a+b et a-b est divisible par 3.

Si a ou b est divisible par 3, alors il n'a rien à montrer.

Donc si a et b sont des entiers quelconques, alors l'un au moins des quatre nombres a, b, a+b, ou a-b est divisible par 3.

On a:

D'après ce qui précède, si a et b sont des entiers quelconques, alors au moins un des quatre nombres a, b, a+b, et a-b est divisible par 3.

Donc 3 divise , car a, et b sont des entiers, donc a-b et a+b sont aussi des entiers.

On en déduit que 3 divise , et donc que est multiple de 3.