Réponse:

a) déterminer les équations horaires de la vitesse de la voiture Vx(t) et Vy(t)

•

Vx(t) = dx/dt = x(t) = Rwcos(wt)

•

Vy(t) = dy/dt = y(t) = Rwsin(wt)

b) déduire que le mouvement de la voiture est uniforme

V² = V²(x) + V²(y)

==> V = √(V²(x) + V²(y))

==> = √[(Rwcos(wt) )² + (–Rwsin(wt) )²]

==> = √ [R²w²cos²(wt) + R²w²sin²(wt)]

==> = √[ R²w²(cos²(wt) + sin²(wt)]

==> = √R²w²

==> V = RW

AN: V = 100 × 0,25

V= 25 m/s donc V= constante d'où le mouvement est uniforme.

on a V = RW ==> W= V/R ( Vitesse angulaire)

donc le mouvement n'est pas rectiligne la vitesse s'exprime en fonction de la vitesse angulaire.

c) déterminer les équations horaires de

→

l'accélération a de la voiture

→ ••

ax(t) = dV /dt = x (t) = –Rw²sin(wt)

→ ••

ay(t) = dV /dt = y (t) = –Rw²cos(wt)

d) l'accélération de la voiture est-elle constante ? sa norme est-elle constante ?

a² = a²x + a²y

==> a = √(a²x + a²y)

==> a = √[ (–Rw²sin(wt))²+ (–Rw²coswt))² ]

==> a = √[ R²w⁴sin²(wt) + R²w⁴cos²(wt)]

==> a = √[ R²w⁴(sin²(wt) + cos²(wt) )]

==> a = √(R²w⁴)

==> a = Rw²

AN: a = 100 × (0,25)²

a = 6,25 m/s² donc a = constante

sa norme est donc constante (m/s²)

e) montrer que →a est orthogonal à →v

il suffit de montrer que →a. →v = 0

ax × Vx + ay × Vy

= [–Rw²sin(wt) × Rwcos(wt) ] + [ –Rw²cos(wt) × (–Rwsin(wt))]

= –R²w³sin(wt)cos(wt) + R²w³cos(wt)sin(wt)

= 0 donc →a est orthogonal à→v

f) Donnons l'expression de la vitesse et de l'accélération dans le répère de Frenet

Dans le répère de Frenet :

La vitesse est dans le même sens que la tangentielle →T à la trajectoire

→VM= d→OM/dt = (d→OM/ds)dt

= (ds/dt)→T

→VM = →VT = (ds/dt)→T

→VN = 0

→a | →at = d→v/dt =0

→aN = V²/R >0

montrer que →a orthogonal à →V c'est →a•→V = 0

at × Vt + aN × VN = 0 × ds/dt →T + V²/R × 0

= 0 donc →a• →V = 0

Explications:

♦ la dérivée de cos(Ax) est -Asin(Ax)

♦ la dérivée de sin(Ax) est Acos(Ax)

♦ cos²(wt) + sin²(wt) = 1

→ ceci est le vectoriel