Réponse :

f(x) = 6 x² - 9 x - 6

1) a) montrer que la fonction f peut s'écrire

          f(x) = 6[(x - 3/4)² - 25/16]

f(x) = 6 x² - 9 x - 6  peut s'écrire sous la forme canonique

f(x) = a(x - α)²+ β

a = 6

α = - b/2a = 9/12 = 3/4

β = f(3/4) = 6(3/4)² - 9(3/4) - 6 = 54/16 - 27/4 - 6 = 54/16 - 108/16 - 96/16

   = - 150/16

f(x) = 6(x - 3/4)² - 150/16

     = 6[(x - 3/4)² - 25/16]

b) en déduire que la fonction f est minorée par - 75/8

    f(x) = 6[(x - 3/4)² - 25/16]  ⇔ f(x) = 6(x-3/4)² - 6 * 25/16

⇔ f(x) = 6(x-3/4)² - 3*25/8  ⇔ f(x) = 6(x - 3/4)² - 75/8

la valeur minimale de f est - 75/8

c)  soit a et b deux nombres réels établir l'implication suivante

    a < b < 3/4  ⇒ f(a) > f(b)    

   f(a) = 6 a² - 9 a - 6

   f(b) = 6 b² - 9 b - 6

.................................................

f(a) - f(b) = 6 a² - 6 b²  - 9 a + 9 b - 6 + 6

              = 6(a² - b²) - 9(a - b)

              = 6(a-b)(a+b) - 9(a-b)

              = (a-b)(6 a + 6 b -9)

a - b < 0   et comme a et b ∈ [- ∞ ; 3/4] ⇔ a < 0 ; b < 0

donc 6 a + 6 b - 9 < 0  donc (a-b)(6a+6b-9) > 0

Donc f(a) - f(b) > 0 ⇒ f(a) > f(b)

2) a) déduire de la question 1) a   la factorisation suivante

                 f(x) = 6(x + 1/2)(x - 2)

f(x) = 6[(x - 3/4)² - 25/16] ⇔ f(x) = 6[(x - 3/4)² - (5/4)²]

⇔ f(x) = 6[( x - 3/4 + 5/4)(x - 3/4 - 5/4)]

          = 6(x + 1/2)(x - 2)

b) donner les antécédents de 0 par f

    f(x) = 0 = 6(x + 1/2)(x - 2)   ⇒ x + 1/2 = 0 ⇒ x = - 1/2

x - 2 = 0 ⇒ x = 2

c) déterminer la partie de R sur laquelle la fonction f est strictement positive

          f(x) = 6(x+1/2)(x - 2) > 0

x          - ∞                     - 1/2                  2                      + ∞

x+1/2                  -              0           +                    +

x- 2                    -                            -       0            +              

f(x)                      +              0           -       0            +

   la partie de R  où f(x) > 0  est  ]- ∞ ; - 1/2[U]2 ; + ∞[

Explications étape par étape