Réponse :

1) donner un encadrement du nombre  A(x)

 A(x) = (2 x + 3)/(x + 2)

- 1/2 ≤ x ≤ 1   ⇔ - 1 ≤ 2 x ≤ 2  ⇔ 2 ≤ 2 x + 3 ≤ 5

- 1/2 ≤ x ≤ 1   ⇔ - 1/2 + 2 ≤ x + 2 ≤ 3   ⇔ 3/2 ≤ x + 2 ≤ 3  ⇔ 1/3 ≤ 1/(x+2) ≤ 2/3

2/3 ≤ (2 x + 3)/(x+2) ≤ 10/3

2) déterminer les deux nombres réels a et b tels que

       A(x) = a  +  b/(x+2)

               = a(x + 2)/(x +2) +  b/(x+2)

               = (a x + 2a + b)/(x + 2)

a = 2

2a + b = 3  ⇔ 2*2 + b = 3  ⇔ b = 3 - 4 = - 1

donc  A(x) = 2   - 1/(x+2)

3) trouver un autre encadrement du nombre A(x)

     1/3 ≤ 1/(x+2) ≤ 2/3   ⇔ - 2/3 ≤ - 1/(x+2) ≤ - 1/3

⇔ 2 - 2/3 ≤ 2 - 1/(x+2) ≤ - 1/3 + 2   ⇔ 4/3 ≤ 2 - 1/(x+2) ≤ 5/3

4) lequel des encadrement le plus précis

4/3 ≤ 2 - 1/(x+2) ≤ 5/3  est le plus précis  car A(x)  est encadrer par 2 fractions consécutives

Explications étape par étape :