Une entreprise fabrique des petites pièces qui sont commercialisées par le lot de n pièces à un tirage avec remise .

on estime que 1% des pieces produites sont défectueuses .

soit Xn la variable aléatoire comptant le nb de pieces défectueuses dans un lot de n pieces.

1) on considère des lots de 3 pieces , quelle loi suit la variable aléatoire X3?

X3 suit la Loi Binomiale de paramètres n=3 et p=0,01

2) représenter la situation par un arbre de probabilité

Arbre de la Loi B(3;0,01)

Univers ------> X1 (0,01)

               ------> X1 barre (0,99)

X1    ------> X2 (0,01)

         ------> X2 barre (0,99)

X1 barre    ------> X2 (0,01)

                   ------> X2 barre (0,99)

X2    ------> X3 (0,01)

         ------> X3 barre (0,99)

X2 barre    ------> X3 (0,01)

                   ------> X3 barre (0,99)

3) établir la loi X 3

soit Coeff (n,k) le coefficient de Pascal

P(X=0)=Coeff (0,3) x 0,01^0 x 0,99^3=0,970299

P(X=1)=Coeff (1,3) x 0,01^1 x 0,99^2=0,029403

P(X=2)=Coeff (2,3) x 0,01^2 x 0,99^1=2,97*10^-4

P(X=3)=Coeff (3,3) x 0,01^3 x 0,99^0=10^-6

4) dans cette question, on constitue des lots de 5 pieces . montrer que la probabilité que le lot contienne aucune pièce défectueuse est 0,99 ^5

Il s'agit de la Loi de X5

p=P(X=0)

   =Coeff (0,5) x 0,01^0 x 0,99^5

   =0,99^5

5) dans cette question ,on constitue des lots de n pieces, exprimer en fonction de n la probabilité pn que le lot ne contienne aucune pièce défectueuse

Il s'agit de la Loi de Xn

pn=P(X=0)

    =Coeff (0,n) x 0,01^0 x 0,99^n

   =0,99^n

6) déterminer la plus grande valeur de n telle que pn > ( supérieur ou égal à )0,85.

on cherche pn ≥ 0,85

donc 0,99^n ≥ 0,85

donc n ≥ 17