On considère la fonction f définie par    f(x)  =  ((x + 2) / (x − 1)) − 1

      soit                                                   f(x)  =  [ (x +2) − (x − 1) ] / (x − 1)
                                                                     =  3/(x − 1)


1)   Déterminer l'ensemble de définition Df de f.

      Comme cette fonction n'est valable que pour un dénominateur non nul,

      soit pour tout (x − 1) ≠ 0.

      Son domaine de définition Df est donc : x ∈ IR − {1}



2)   Déterminer l'ensemble dedérivabilité D'f de f.

     Comme la dérivée d'une fonction homographique u/v est (u'v − uv')/v²

     Et que la racine de v² est la même que celle de v.

     La racine de (x − 1)² sera la même que celle de (x − 1)

     L'ensemble de définition D'f sera aussi : x ∈ IR − {1}



3)    Pour tout x appartenant à D'f, exprimer f'(x).

      Pour tout x ∈ D'f, on aura donc :

      f'(x)  =  [0 × (x − 1) − 3 × 1] / (x − 1)²
             =  −3/(x − 1)²



4)    Déterminer l'équation réduite de la tangente T₂ à la courbe représentative de f, Cf, au point d'abscisse 2 puis une équation cartésienne de T₂.

       L'équation réduite de la tangente T₂ à la courbe représentative de f, Cf,

       au point d'abscisse 2 est :

                             y  =  f′(2) × (x−2) + f(2)

      Or   f(2)  =  3/[(2) − 1]  =  3/1  =  3

      et    f'(2) = −3/[(2) − 1]²  =  −3/1  =  −3

      On a donc :     y  = −3x + −3(−2) + 3
                                = −3x + 9



5)    Déterminer l'équation réduite de la tangente T₄ à la courbe représentative de f, Cf, au point d'abscisse 2 puis une équation cartésienne de T₄.

      L'équation réduite de la tangente T₂ à la courbe représentative de f, Cf,

      au point d'abscisse 4 est :

                           y  =  f′(4) × (x−4) + f(4)

      Or    f(4)  =  3/[(4) − 1]  =  3/3  =  1
      et     f'(4) =  −3/[(4) − 1]²  =  −3/9  =  −1/3

      On a donc :    y  =  −1/3x + −1/3(−4) + 1
                               =  −1/3x + 7/3



6)   Dans cette question, on considère un toboggan dont la courbe a pour équation y= f(x) pour x appartenant à [2 ; 4].
     On estime que la vitesse d'un objet laché sur le toboggan est proportionnelle à la pente du toboggan en chaque point du toboggan.
     On notera a le coefficient de proportionnalité.

6   a)   Exprimer la vitesse de l'objet en fonction de a, x, f et f'

     Comme en tout point z, la tangente à f(x) a pour équation réduite :

                           y  =  f'(z) × (x − z) + f(z)

     Son coefficient directeur, auquel correspond la pente, est donc : f'(z)

     La vitesse de l'objet étant proportionnelle à la pente

      par le coefficient de proportionnalité a

     est donc :       v  =  a f'(z)



6   b)   Si a = −0,1 quelle est la vitesse de l'objet au point d'abscisse 2 ?

          Si a = −0,1 la vitesse de l'objet au point d'abscisse 2 sera donc :

                          v  =  (−0,1)(−3)  =  3/10



6   c)   Si a = −0,1 quelle est la vitesse de l'objet au point d'abscisse 4 ?

          Si a = −0,1 la vitesse de l'objet au point d'absisse 4 sera donc :

                          v  =  (−0,1)(−1/3)  =  1/30