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Bonjour

1)

variations de f

on cherche la dérivée de f(x)

f ' (x) =  2x² +5 x -3

méthode du discriminant pour 2x²+5x -3
Δ= b²-4ac
= (5)²- 4 × 2 × (-3)=25+24
=49=7²

x1 = (-b-√Δ) / (2a)
=( -(5) -7) /(2×2)
= -12 /4

= -3

x2 = (-b+√Δ) /(2a)
=( -(5) +7) /(2×2)
=2 /4

=1/2

forme factorisée de f '(x)

f '(x) = 2 (x+3) (x-1/2)

théorème :

un polynôme du second degré est du signe de a à  l'extérieur des racines et du signe de -a à l'intérieur des racines.

la dérivée est du signe de a donc > 0 à l'extérieur des racines

et < 0 à l'intérieur des racines

signe de f'(x)

de ]- ∞   ; -3[      f'(x) est du signe +

de ]-3 ; ½[         f'(x) est du signe -

de ½ ; +∞        f'(x) est du signe +

f(-3 ) = 19/2

f(1/2) = -115/24

voir tableau de variations joint

si la dérivée est positive   , alors la fonction f est croissante

si la dérivée est négative, alors  la fonction f est décroissante

2)

voir graphique joint

3) 

Équation de la tangente en xo = 1

f(1) =2/3 +5/2 -3 -4

=-23/6

f '(1)=4

formule de la tangente :   (voir cours)

y = f '(xo) (x-xo) + f(xo)

y = f '(1) (x-1) + f(1)

on remplace par les valeurs numériques:

y= 4(x-1) -23/6

y=4x-4 -23/6

y = 4x - 47/6

4)

Il y a  2 point d'intersections de la courbe de f et de la tangente en x= 1

f(x) =y

2/3 x^3 +5/2 x² -3x -4  = 4x- 47/6 

2/3 x^3 +5/2 x² -3x -4  - 4x+ 47/6 = 0

1er   point d'intersection est x = 1

f(1) = -23/6

car point de tangence

2nd point d'intersection

( j'ai utilisé la calculatrice)

x= -23/4  ( = - 5,75 )

f( -23/4) = -185/6

donc les points d'intersection sont :

le point ( 1; -23/6)

et (-23/4  ; -185/6) 

( tu peux le voir sur le graphique)