Réponse :

Explications étape par étape :

1.

On sait que l'équation d'une tangente à la courbe de f en a est :

y = f'(a) * (x - a) + f(a)

La fonction f est un polynômes de degré 3, elle est donc dérivable sur R

De plus, pour tout x appartenant à R,

f'(x) = 3x^2 - 3

Ici, la tangente dessiné est la tangente à Cf en 1/2.

On a f'(1/2) = 3 * [tex]0,5^{2}[/tex] - 3 = -9/4

et f(1/2) = [tex]0,5^{3}[/tex]  - 3 * 0,5 + 1 = -3/8

On a alors y = -9/4*(x - 1/2) -3/8

                 y = -9/4x +9/8 - 3/8

                y = -9/4x + 3/4

2.

[tex]x^{3} - 3x + 1 - ( - 9/4x + 3/4)[/tex] = [tex]x^{3} -3/4.x +1/4[/tex]

de plus 1/4*(x+1)*(2x-1)^2 = 1/4(x+1)*(4x^2 -4x + 1)

                                        = (x+1)(x^2 -x + 1/4)

                                        = x^3 - x^2 +1/4x + x^2 - x + 1/4

                                        = [tex]x^{3} -3/4.x +1/4[/tex]

Donc 1/4*(x+1)*(2x-1)^2 = [tex]x^{3} - 3x + 1 - ( - 9/4x + 3/4)[/tex]  

3.

Etude de signe : de 1/4*(x+1)*(2x-1)^2 = f(x) - y

avec y l'équation de la tangente à Cf en 1/2

(2x-1)^2 > 0 pour tout x réels

1/4 > 0

On étudie le signe de x + 1

x + 1 > 0 <=> x > -1

Ainsi, pour tout x < -1, f(x) - y est négatif, donc T est au dessus de Cf

et pour tout x > - 1, f(x) - y est positif, donc T est au dessous de Cf.

Voila bonne journée