Réponse :

ex1

1) on donne  a = 10 k  et  b = 6 k ; avec k entier

a) montrer que a est un multiple de 2

        a = 10 k  ⇔ a = 2 x (5 k)  donc il existe k' tel que k' = 5k     k'  entier

⇔ a = 2 k'    donc a est un multiple de 2

b)  montrer que b est un multiple de 3

      b = 6 k   ⇔ b = 3 x (2 k)   donc il existe k' tel que k' = 2 k   k' entier

⇔ b = 3 k'      donc   b est un multiple de 3

c) est-ce que 8 est un diviseur de a + b ?

         a + b = 10 k + 6 k  ⇔ a + b = 16 k  ⇔ a + b = 8 x (2 k)

donc  8 est un diviseur de a + b

2) soit n un entier, montrer que la somme de n et des deux entiers qui suivent n  est un multiple de 3

pour tout entier   n ≥ 1

      S = n + n+1 + n+2 = 3 n + 3  ⇔ S  = 3(n + 1)   donc  S est un multiple de 3

3) soit n ∈ N,  on pose  a = 2 n - 7  et b = n + 1

a) calculer  a - 2 b

     a - 2 b = 2 n - 7 - 2(n + 1)  

                 = 2 n - 7 - 2 n - 2

                 = - 9

b) soit d un diviseur de a et b

montrer que d est un diviseur de a - 2 b

 a-2b = (2n-7)-2(n+1) = - 9

a-2b=-9

d diviseur de a  ⇔ a = d x m

d diviseur de b  ⇔ b = d x p

⇔ a - 2 b = d x m - 2 d x p = d(m - 2 p)

⇔ d(m - 2 p) = - 9    

les valeurs possibles de d entier sont : 1 ; - 1 ; 3 ; - 3 ; 9 ; - 9

Explications étape par étape :