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Réponse :

a) la courbe passe par les points A(- 2 ; 0) et B(0 ; 1), calculer a et b

f(x) = (a x + b)e^cx

f(-2) = 0 = (- 2 a + b)e^-2c

f(0) = 1 = be⁰  or e⁰ = 1 ⇒ b = 1

f(-2) = 0 = (-2 a + 1)e^-2c  or e^-2c ≠ 0  car  c ≠ 0 sinon on aura f(x) = a x+b

⇒ - 2 a + 1 = 0 ⇒ a = 1/2

b) au point C d'abscisse - 1, la courbe admet une tangente // à l'axe des abscisses. Calculer c

calculons la dérivée de la fonction f

f(x) = (1/2 x + 1)e^cx

(u*v)' = u'v + u v'

u = 1/2 x + 1 ⇒ u' = 1/2

v = e^cx ⇒ v' = ce^cx

f '(x) = 1/2*(e^cx) + (1/2 x + 1) ce^cx

nous savons que la tangente // à l'axe des abscisses ⇒ f '(x) = 0

f '(-1) = 1/2 e^-c + (- 1/2 + 1)ce^-c = 0

       = 1/2 e^-c - 1/2 ce^-c + c e^-c

       = 1/2 e^-c + 1/2 ce^-c = 0

       = 1/2 e^-c( 1 + c) = 0

⇒ 1/2 e^-c = 0 ⇒ e^-c = 1/e^c ⇒ e^c ≠ 0

⇒ 1 + c = 0 ⇒ c = - 1

Donc f (x) peut s'écrire :  f(x) = (1/2 x + 1)e⁻ˣ

c) montrer que l'axe des abscisses est une asymptote

il suffit de montrer que la lim f(x) = 0

                                          x → + ∞

f (x) = (1/2 x + 1)e⁻ˣ = (1/2 x + 1)/eˣ = 1/2(x/eˣ) + 1/eˣ

                                                                0          0

Donc  lim f(x) = 0   ⇒ y = 0  donc la courbe de f est asymptotique à l'axe

          x→+∞

des abscisses

d) déterminer les points d'intersection de la courbe avec la droite y = x + 2

 f(x) = y  ⇔ (1/2 x + 1)e⁻ˣ = x + 2

⇔ 1/2(x + 2)e⁻ˣ = x + 2 ⇔ e⁻ˣ = 2 ⇔ e^ln(-x) = ln2

⇒-x = ln2 ⇒ x = - ln2 = - 0.69

   y = - ln2 + 2 = 1.3        

Explications étape par étape