Réponse :

Bonjour,

Pour résoudre cet exercice, il est recommandé de tracer un schéma.

a) On sait que (AB) ⊥ [CD] (car ABC est rectangle en B) et BC = BD.

Or si une droite est perpendiculaire et passe par le milieu d'un segment, alors elle représente sa médiatrice.

(AB) est la médiatrice de [CD].

b) Comme (AB) est la médiatrice de [CD], alors les extrémités de ce segment sont équidistants au point A de la droite.

On a ainsi AC = AD

On constate que dans le triangle ADC, AC = AD.

Or si un triangle possède deux côtés égaux, alors il est isocèle.

ADC est isocèle en A.

c) i.

On sait que les droites (AM) et (CD) sont parallèles et traversées par (AC).

Or si deux droites sont parallèles, alors les angles alternes internes qu'elles forment sont de même mesure.

Donc MAC = ACB

ii) S'ils sont superposables, alors ils sont forcément égaux.

On sait déjà que AC = AD.

Il nous reste à prouver que MC = AB, et AM = BD.

Les segments [MC] et [AB] sont délimités par les droites parallèles (AM) et (CD). Ils sont alors de même longueur.

Ensuite d'après l'énoncé, le point M est placé de sorte que AM = BC.

Comme B est le milieu de [CD], alors BC = BD.

Donc AM est aussi égal à BD soit (AM = BC = BD).

Enfin comme les triangles AMC et ABD sont égaux (côtés homologues égaux deux à deux), alors ils sont superposables.