scoladan

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Bonjour,

1) n=0 3⁰ = 1 et 1 + 2x0 = 1 donc propriété vérifiée au rang 0

Hypothèse : Propriété vraie au rang n, soit 3²ⁿ ≥ 1 + 2n

Au rang (n + 1) :

3²⁽ⁿ⁺¹⁾ = 3²ⁿ⁺² = 3² x 3²ⁿ = 9 x 3²ⁿ

Par hypothèse, 3²ⁿ ≥ 1 + 2n

⇒ 9 x 3²ⁿ ≥ 9 + 18n

Or 9 + 18n = [1 + 2(n+1)] + [6 + 16n]

Et (6 + 16n) > 0

Donc, 9 + 18n ≥ 1 + 2(n+1)

Soit 3²⁽ⁿ⁺¹⁾ ≥ 1 + 2(n+1)

Propriété héritée au rang (n+1)



2) Supposons √(16n² + 8n + 3) ∈ N

Alors il existe p ∈ N tel que (16n² + 8n + 3) = p²

⇔ 16n² + 8n + (3 - p²) = 0

Δ = 8² - 4 x 16 x (3 - p²) = 64(1 - 3 + p²) = 64(p² - 2)

Si p = 0 ou p = 1, Δ < 0 donc pas de solution donc impossible

Si p > 1, Δ > 0 donc 2 solutions :

n = (-8 - √[64(p² - 2)])/32 < 0 donc impossible dans N

ou

n = (-8 + √[64(p² - 2)])/32 = -1/4[1 - √(p² - 2)]

Or √(p² - 2) = √[(p - √2)(p + √2)] donc ∉ N ⇒ n ∉ N donc impossible

Conclusion : √(16n² + 8n + 3) ∉ N