Réponse :

1) sans calculer Δ dites pourquoi l'équation 2 x² - 3 x - 1 = 0 admet deux solutions x' et x"

lorsque a et c sont de signes contraires  c'est à dire  a*c < 0 donc  Δ > 0

donc l'équation admet deux solutions  x' et x"

sans calculer x' et x" calculer les expressions suivantes

B = [(2 x' - 3)/x"] + (2 x" - 3)/x'  

  = [x'(2 x' - 3) + x"(2 x" - 3)]/x'x"

  = (2x'² - 3 x' + 2 x"² - 3 x")/x'x"

  = [2(x'² + x"²) - 3(x' + x")]/x'x"    or x'²+x"² = (x'+x")²- 2x'x"

  = [2((x'+x")²- 2x'x") - 3(x'+x")]/x'x"

or  S = x' + x" = - b/a =  3/2

     P = x'x" = c/a = - 1/2

il suffit de remplacer les valeurs de S et P

B = 2((3/2)² - 2(-1/2) - 3(3/2))/(-1/2)

  = 2[9/4 + 1 - 9/2]/(- 1/2)

  = 2[(9 + 4 - 18)/4/(-1/2)

  = - 5/2/-1/2 = 5

B' = (2 x' - 3) + (2 x" - 3) = 2 x' - 3 + 2 x" - 3 = 2(x'+x") - 6 = 2(3/2) - 6 = - 3

A = 2 x'² + 2 x"² = 2(x'² + x"²) = 2[(x' + x")² - 2 x'x"] = 2((3/2)² - 2(-1/2))

   = 9/2 + 1 = 11/2

2) 1) déterminer deux réels  α et β sachant que:

        { α + β = 2

        { α * β = - 15  

S = α + β = 2

P = α x β = - 15

on écrit l'équation  x² - S x + P = 0 ⇔ x² - 2 x - 15 = 0

   Δ = 4 + 60 = 64  ⇒ √64 = 8

x' = α = 2+8)/2 = 5

x" = β = 2-8)/2 = - 3

donc   α = 5 et β = - 3

   2) déterminer deux réels  u et v sachant que:

                {u + v = 2     ⇔ S = 2

                {u²+v² = 34     or  u²+ v² = (u + v)² - 2 uv  ⇔ S² - 2 P = 34

  2² - 2 P = 34  ⇔ 2 P = - 30  ⇔ P = - 15

Donc on trouve la même équation que la précédente

donc  u = 5 et  v = - 3

Explications étape par étape