Réponse :

Explications étape par étape

■ f(x) = x / √(x²+4) sur IR

■ f ' (x) = [ √(x²+4) - 0,5x.2x/√(x²+4) ] / (x²+4)

= [ (x²+4-x²) / √(x²+4) ] / (x²+4)

= 4 / [ √(x²+4) ]puissance(1,5)

toujours positive donc

la fonction f est toujours croissante !

■ f ' (0) = 4 / [ 2puiss1,5 ] = 4 / 2√2 = 2 / √2 = √2

d' où l' équation de la tangente au point (0;0) :

y = x√2

la tangente passe par le point (√2 ; 2 )

■ f(-x) = -x / √(x²+4) = - f(x) donc f est bien impaire !

■ remarque sur les limites à l' infini :

Lim f(x) pour x tendant vers +∞ = Lim x / √x² = 1

Lim f(x) pour x tendant vers -√(x²+4) = -1

■ tableau de variation et de valeurs :

x --> -∞ -10 -1 0 1 √2 10 +∞

variation -> toujours croissante

f(x) -> -1 -0,98 -0,45 0 0,45 0,58 0,98 1

■ remarque sur la représentation graphique de f :

la courbe est comprise entre les deux asymptotes horizontales

d' équations y = -1 et y = +1 ; et présente une symétrie

par rapport à l' origine ( car f est impaire ! )