Bonjour, voici l’énoncé d’un exercice sur lequel je bloque depuis 1h, merci d’avance :
On se place dans un plan muni d'un repère orthonormé où les points A et B sont de coordonnées
respectives A (1;2) et B (2; -1).
Soit S l'ensemble des points M(x; y) de ce plan tels que 2AM=BM.
Montrer que 2AM = BM - x - x + y2 – 6y + 5 = 0.
En déduire la nature de S en précisant ses caractéristiques.
On se place dans un plan muni d'un repère orthonormé où les points A et B sont de coordonnées
respectives A (1;2) et B (2; -1).
Soit S l'ensemble des points M(x; y) de ce plan tels que 2AM=BM.
Montrer que 2AM = BM - x - x + y2 – 6y + 5 = 0.
En déduire la nature de S en précisant ses caractéristiques.
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Réponse :
La réponse en fichier joint.
Bonne journée
Explications étape par étape :
Réponse :
l' ensemble S est un cercle de centre E(2/3 ; 3)
et de Rayon = 2√10 / 3 ≈ 2,108 cm
Explications étape par étape :
■ vecteur AM = (x-1 ; y-2)
donc AM² (x-1)² + (y-2)²
d' où 4 AM² = 4(x-1)² + 4(y-2)²
■ BM = (x-2 ; y+1)
donc BM² = (x-2)² + (y+1)² .
■ on veut 2 AM = BM :
donc 4 AM² = BM²
4(x-1)² + 4(y-2)² = (x-2)² + (y+1)²
3x² - 4x + 3y² - 18y + 15 = 0
x² -4x/3 + y² - 6y + 5 = 0
3(x - 2/3)² - 4/3 + 3(y - 3)² - 27 + 15 = 0
3(x - 2/3)² - 4/3 + 3(y - 3)² - 12 = 0
(x - 2/3)² - 4/9 + (y - 3)² - 4 = 0
(x - 2/3)² + (y - 3)² = 4 + 4/9
(x - 2/3)² + (y - 3)² = 40/9
■ conclusion :
l' ensemble S serait donc un cercle de centre
E(2/3 ; 3) et de Rayon = 2√10 / 3 ≈ 2,108 cm .
■ vérif :
40/9 ≈ 4,444 donc
(x - 2/3)² + (y - 3)² ≈ 4,444
d' où un point M(2/3 ; 5,108)
d' où AM² = 1/9 + 9,66 ≈ 9,77
BM² = 16/9 + 37,3 ≈ 39,1
on a bien 4 AM = BM² .