Bonjour vous pouvez maider svp!!
(Vous pouvez mexpliquer aussi comment vous l’avez fait svp)
Des algues prolifèrent dans un étang. Pour s'en débarrasser, le propriétaire installe un système de filtration.
En journée, la masse d'algues augmente de
2 % puis, à la nuit tombée, le propriétaire actionne pendant une heure le système de filtration qui retire 100 kg d'algues.
On admet que les algues ne prolifèrent pas pendant la nuit.
Le propriétaire estime que la masse d'algues dans l'étang au matin de l'installation du systeme de filtration est de 2 000 kg.
On modélise par a(n) la masse d'algues dans l'étang, exprimée en kg, après utilisation du système de filtration pendant n jours.
1. A quoi correspond la masse d'algues présente dans l'étang au matin de l'installation du systeme de filtration ?
2. Interpréter, puis calculer les termes a(1) et a(2).
3. Exprimer a(n + 1) en fonction de a(n) pour tout entier naturel n.
4. A l'aide d'un tableur ou d'une calculatrice, déterminer la masse d'algues encore présente apres une semaine de traite-ment. On donnera une valeur arrondie à l'unité.
(Vous pouvez mexpliquer aussi comment vous l’avez fait svp)
Des algues prolifèrent dans un étang. Pour s'en débarrasser, le propriétaire installe un système de filtration.
En journée, la masse d'algues augmente de
2 % puis, à la nuit tombée, le propriétaire actionne pendant une heure le système de filtration qui retire 100 kg d'algues.
On admet que les algues ne prolifèrent pas pendant la nuit.
Le propriétaire estime que la masse d'algues dans l'étang au matin de l'installation du systeme de filtration est de 2 000 kg.
On modélise par a(n) la masse d'algues dans l'étang, exprimée en kg, après utilisation du système de filtration pendant n jours.
1. A quoi correspond la masse d'algues présente dans l'étang au matin de l'installation du systeme de filtration ?
2. Interpréter, puis calculer les termes a(1) et a(2).
3. Exprimer a(n + 1) en fonction de a(n) pour tout entier naturel n.
4. A l'aide d'un tableur ou d'une calculatrice, déterminer la masse d'algues encore présente apres une semaine de traite-ment. On donnera une valeur arrondie à l'unité.
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Réponse :
Explications étape par étape :
■ "augmentation de 2%" --> coefficient 1,02
■ on admet Ao = 2ooo kg d' algues au départ
■ 2°) A1 = 2ooo x 1,02 - 100 = 2040 - 100 = 1940 kg .
↓ ↓
jour nuit
A2 = 1940 x 1,02 - 100 ≈ 1979 - 100
≈ 1879 kg .
■ 3°) An+1 = An x 1,02 - 100 .
■ recherche de la "Limite théorique" :
L = 1,02 L - 100
0,02 L = 100
L = 5000 .
■ soit la suite (Bn) telle que
Bo = Ao - 5ooo = -3000 et Bn+1 = 1,02 Bn .
La suite (Bn) est géométrique de raison q = 1,02
■ 4°) tableau-résumé :
n --> 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Bn --> -3ooo -3o6o -3121 -3184 -3247 -3312 -3378 -3446 -3515
↓ + 5ooo
An --> 2ooo 194o 1879 1816 1753 1688 1622 1554 1485 kg
■ conclusion :
au bout d' une semaine, il restera 1554 kg d' algues .
■ nb de jours pour éliminer presque toutes les algues :
il faut résoudre -3ooo x 1,02^n = -5ooo
1,02^n = 5/3
n = Log(5/3) / Log1,02
n ≈ 25,8 jours !
conclusion :
au bout de 25 jours : A25 = B25 + 5ooo
= -3ooo x 1,02^25 + 5ooo
≈ 78 kg d' algues !