Réponse :

Explications étape par étape

1) a)

On note P_n la propriété «u_n >= -3».

* initialisation u_0 =3 est bien sup ou égal à -3. Don P_0 est vraie.

* hérédité : Supposons P_n vraie:

u_n >= -3

On divise des 2 côtés par 3

1/3 u_n >= -3/3

1/3 u_n >= -1

On soustrait 2 de chaque côté

1/3 u_n -2 >= -1 -2

1/3 u_n -2 >= - 3

C'est à dire

u_(n+1) >= -3

P_(n+1) est vraie.

La propriété u_n >= -3 est initialisée pour n=0 et héréditaire, elle est donc vraie pour tout n>=0

1) b)

L'idée est de calculer u_(n+1) - u_n.

....

On doit arriver à

u_(n+1) - u_n = -2 (1/3 u_n + 1)

Et l'inégalité vue au a) sert à montrer que

u_(n+1) - u_n <=0, pour tout n>=0.

Ce qui signifie que la suite (u_n) est décroissante