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Bonsoir,

1)a) D'après les figures, un segment est divisé en 4 segments égaux après chaque étape (2 sur les côtés et 2 pour former le triangle équilatéral sans base).

b) Chaque segment donne 4 nouveaux segments quand on passe à l'étape suivante.

Au départ : (lors de l'étape 1, il n'y a que le triangle équilatéral, qui a 3 côtés).

Puis

et ainsi de suite : ...

On en déduit bien que est géométrique de raison 4 :

Pour tout entier n  : .

c) On obtient alors facilement l'expression de en fonction de n :

.

2)a) On procède de même.

Après chaque étape, la longueur d'un segment est divisée par 3 : .

La suite est donc géométrique de raison 1/3.

b) On a donc :

c) Soit .

A l'étape n, le périmètre du flocon est égal au nombre de segments qui le composent (càd ) multiplié par leur longueur (càd ).

Ainsi :

.

d) On a : car .

Ainsi (sauf si mais on peut supposer qu'on ne part pas d'un segment de longueur nulle ;) ):