Réponse :

pour tout entier naturel n ;

Un = 5√n - 3

Vn = -2/(n+1)]  + 1

1) U0 = - 3  et  U1 = 2

   V0 = - 2 + 1 = - 1

    V1 = -2/(1+1)  + 1 = 0

2) étudier le sens de variation des suites (Un) et (Vn)

Un+1 - Un = 5√(n+1) - 3 - (5√n - 3)

                = 5√(n+1) - 3 - 5√n + 3

                = 5√(n+1) - 5√n

                = 5(√(n+1) - √n)

                = 5(√(n+1) - √n)(√(n+1) +√n)/(√(n+1) + √n)

                = 5(n+1 - n)/(√(n+1) + √n)

    donc  Un+1 - Un = 5/ (√(n+1) + √n)     or (√(n+1) + √n) > 0  et 5 > 0

donc  Un+1 - Un > 0  ⇒ la suite (Un) est croissante sur N

Vn+1 = - 2/(n+2)  + 1  = - 2/(n+2) + (n+2)/(n+2) = (- 2 + n + 2)/(n+2) = n/(n+2)

Vn+1 - Vn = n/(n+2) - (- 2/(n+1)  + 1)

                = n/(n+2) - (- 2/(n+1)  + (n+1)/(n+1)

                = n/(n+2) -  (n - 1)/(n+1)    

                = n(n+1)/(n+2)(n+1) - (n - 1)(n+2)/(n+1)(n+2)

                = (n² + n - (n² + n - 2))/(n+1)(n+2)

                = (n² + n - n² - n + 2)/(n+1)(n+2)

                = 2/(n+1)(n+2)

donc  Vn+1 - Vn > 0   donc   Vn est une suite croissante sur N          

Explications étape par étape :