Réponse :

f(x) = x² - 3 x + 1   définie sur R

a) résoudre dans R ,  f(x) = 0

f(x) = 0  ⇔  x² - 3 x + 1 = 0

Δ = 9 - 4 = 5 > 0  ⇒ 2 racines ≠

x1 = (3+√5)/2

x2 = (3-√5)/2

b) en déduire une factorisation de f(x)

       f(x) = (x - (3+√5)/2)(x - (3-√5)/2)

c) trouver les variations de f

α = - b/2a = 3/2

β = f(3/2) = (3/2)² - 3*(3/2) + 1

               = 9/4 - 9/2 + 1

               =  9/4 - 18/4 + 4/4

               = - 5/4

        tableau de variations de f  sur R

              x   - ∞                             3/2                      + ∞

            f(x)  + ∞→→→→→→→→→→→ - 5/4 →→→→→→→→→→ +∞

                          décroissante              croissante

2) déterminer l'équation de la tangente T à Cf en - 1

        y = f(-1) + f '(- 1)(x + 1)

f(- 1) = (- 1)² - 3*(- 1) + 1 = 5

f '(-1) = lim t(h)

          h→0

t(h) = [f(- 1+h) - f(- 1)]/h

     = ((- 1+h)² - 3(-1+h) + 1) - 5)/h

     = ((1 - 2 h + h² + 3 - 3 h + 1 - 5)/h

     = (h² - 5 h)/h

     = h(h - 5)/h

     = h - 5

donc  f '(- 1) = lim (h - 5) = - 5

                      h→0

     y = 5 - 5(x + 1) = 5 - 5 x - 5

l'équation de la tangente T est  y = - 5 x

3) trouver la fonction dérivée de f

la fonction f  est un polynôme dérivable sur R  et sa dérivée f ' est :

           f '(x) = 2 x - 3  

Explications étape par étape :