aymanemaysae Bonjour ;

1) Montrons que : (∀ x ∈ R) (∀ y ∈ R) : ((x + y = xy + 1) ⇒ (x = 1 ou y = 1)) .

On a : x + y = xy + 1 ⇒ x + y - xy - 1 = 0 ⇒ x(1 - y) + y - 1 = 0

⇒ x(1 - y) - (1 - y) = 0 ⇒ (1 - y)(x - 1) = 0 ⇒ (1 - y = 0) ou (x - 1 = 0)

⇒ (y = 1) ou (x = 1) .

Conclusion :

(∀ x ∈ R) (∀ y ∈ R) : ((x + y = xy + 1) ⇒ (x = 1 ou y = 1)) ,

donc :

(∀ x ∈ R) (∀ y ∈ R) : ((x ≠ 1 et y ≠ 1) ⇒(x + y ≠ xy + 1)) .

2) Montrons que : (∀ x ≥ 0) (∀ y ≥ 0) : (x/(1 + y) = y/(1 + x) ⇒ x = y) .

On a : x/(1 + y) = y/(1 + x) ⇒ x + x² = y + y² ⇒ x² - y² + x - y = 0

⇒ (x - y)(x + y) + x - y = 0 ⇒ (x - y)(x + y + 1) = 0

⇒ x - y = 0 : vu que x + y + 1 ≥ 1 > 0

⇒ x = y .

Conclusion :

(∀ x ≥ 0) (∀ y ≥ 0) : (x/(1 + y) = y/(1 + x) ⇒ x = y) ,

donc :

(∀ x ≥ 0) (∀ y ≥ 0) : (x ≠ y ⇒ x/(1 + y) ≠ y/(1 + x)) .

3) Montrons que : (∀ x > 1) (∀ y > 1) : (x/(1 + x²) = y/(1 + y²) ⇒ x = y) .

On a : x/(1 + x²) = y/(1 + y²) ⇒ x + xy² = y + yx² ⇒ x + xy² - y - yx² = 0

⇒ x - y + xy(y - x) = 0 ⇒ (x - y)(1 - xy) = 0

⇒ x - y = 0 : vu que 1 - xy < 0

⇒ x = y .

Conclusion :

(∀ x > 1) (∀ y > 1) : (x/(1 + x²) = y/(1 + y²) ⇒ x = y) ,

donc :

(∀ x > 1) (∀ y > 1) : (x ≠ y ⇒ x/(1 + x²) ≠ y/(1 + y²)) .