bonsoir à tous. pouvez vous m'aider svp
j'ai vraiment besoin de votre aide.
il s'agit de la contraposee de la logique.
MERCI D'AVANCE
j'ai vraiment besoin de votre aide.
il s'agit de la contraposee de la logique.
MERCI D'AVANCE
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1) Montrons que : (∀ x ∈ R) (∀ y ∈ R) : ((x + y = xy + 1) ⇒ (x = 1 ou y = 1)) .
On a : x + y = xy + 1 ⇒ x + y - xy - 1 = 0 ⇒ x(1 - y) + y - 1 = 0
⇒ x(1 - y) - (1 - y) = 0 ⇒ (1 - y)(x - 1) = 0 ⇒ (1 - y = 0) ou (x - 1 = 0)
⇒ (y = 1) ou (x = 1) .
Conclusion :
(∀ x ∈ R) (∀ y ∈ R) : ((x + y = xy + 1) ⇒ (x = 1 ou y = 1)) ,
donc :
(∀ x ∈ R) (∀ y ∈ R) : ((x ≠ 1 et y ≠ 1) ⇒(x + y ≠ xy + 1)) .
2) Montrons que : (∀ x ≥ 0) (∀ y ≥ 0) : (x/(1 + y) = y/(1 + x) ⇒ x = y) .
On a : x/(1 + y) = y/(1 + x) ⇒ x + x² = y + y² ⇒ x² - y² + x - y = 0
⇒ (x - y)(x + y) + x - y = 0 ⇒ (x - y)(x + y + 1) = 0
⇒ x - y = 0 : vu que x + y + 1 ≥ 1 > 0
⇒ x = y .
Conclusion :
(∀ x ≥ 0) (∀ y ≥ 0) : (x/(1 + y) = y/(1 + x) ⇒ x = y) ,
donc :
(∀ x ≥ 0) (∀ y ≥ 0) : (x ≠ y ⇒ x/(1 + y) ≠ y/(1 + x)) .
3) Montrons que : (∀ x > 1) (∀ y > 1) : (x/(1 + x²) = y/(1 + y²) ⇒ x = y) .
On a : x/(1 + x²) = y/(1 + y²) ⇒ x + xy² = y + yx² ⇒ x + xy² - y - yx² = 0
⇒ x - y + xy(y - x) = 0 ⇒ (x - y)(1 - xy) = 0
⇒ x - y = 0 : vu que 1 - xy < 0
⇒ x = y .
Conclusion :
(∀ x > 1) (∀ y > 1) : (x/(1 + x²) = y/(1 + y²) ⇒ x = y) ,
donc :
(∀ x > 1) (∀ y > 1) : (x ≠ y ⇒ x/(1 + x²) ≠ y/(1 + y²)) .