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Bonjour,

Partie II

Partie A

1)

x       -π/2                   π/2

sin(x)   -1    croissante   1

sin(x) est strictement croissante sur cet intervalle.

⇒ Pour tout a et b ∈ [-π/2 ; π/2],  a ≠ b ⇒ sin(a) ≠ sin(b)

⇒ sin(x) est injective

Réciproquement, pour tout y ∈ [-1 ; 1], il existe x ∈ [-π/2 ; π/2] tel que y = sin(x).

⇒ sin(x) est surjective

injective et surjective ⇒ bijection de [-π/2 ; π/2] sur [-1 ; 1]

On peut aussi écrire :

sin(x) est continue et strictement croissante sur [-π/2 ; π/2].

On peut dire d'après le théorème des fonctions réciproques :

f([-π/2 ; π/2)] = [f(-π/2) ; f(π/2)] = [-1 ; 1]

donc f établit une bijection de [-π/2 ; π/2] sur [-1 ; 1].

2) arcsin(x) est la fonction qui à un réel quelconque appartenant à [-1 ; 1] associe l'unique réel y exprimé en radians appartenant à [-π/2 ; π/2] dont le sinus vaut x.

Soit : arcsin(x) = y tel que sin(y) = x avec x ∈ [-1 ; 1] et y ∈ [-π/2 ; π/2]

. Pour x ∈ [-1 ; 1], sin(Arcsin(x)) = x

. Pour x ∈ [-π/2 ; π/2], Arcsin(sin(x)) = x

. Pour x ∈ [-1 ; 1], cos(Arcsin(x)) = ??

cos²(u) + sin²(u) = 1

⇒ cos²(u) = 1 - sin²(u)

en posant : u = Arcsin(x),

cos²(Arcsin(x)) = 1 - sin²(Arcsin(x))

cos²(Arcsin(x)) = 1 - x²

⇒ cos(Arcsin(x)) = √(1 - x²)

3)

Arcsin est définie et continue sur [-1 ; 1], croissante sur cet intervalle.

x                -1                        1

Arcsin(x)    -π/2 croissante   π/2

4) ci-dessous

5) La dérivée de sin(x) vaut cos(x) et cos(x) ne s'annule pas sur [-π/2 ; π/2]

⇒ Arcsin(x) est dérivable sur ]-1 ; 1[

Formule dérivée d'une fonction g réciproque de f  : g'(y) = 1/f'(g(y))

⇒ [Arcsin(x)]' = 1/cos[Arcsin(x)] = 1/√(1 - x²)

Partie B

Quasiment identique...

5) (Arccos(x))' = -1/√(1 - x²)

Partie C

Arcsin(x) + Arccos(x) = π/2 ??

On a : cos(π/2 - Arcsin(x)) = sin(Arcsin(x)) = x    (cos(π/2 - a) = sin(a))

et  cos(Arccos(x)) = x

Donc : π/2 - Arcsin(x) = Arccos(x)