EXN°1

1) Montrer que A est le milieu de BE

Si AB = AE alors A est milieu de BE

AB = √(-3-1)² + (-4+2)² = √16 + 4 = √20 = 2√5

AE = √(5-1)² + (0 + 2)² = √16 + 4 = √20 = 2√5

Donc AB = AE ⇒ A milieu de BE

2) montrer que (BC) est ⊥ à EC

considérons le triangle BCE , pour montrer que BCE est un rectangle en C, il faut appliquer la réciproque du théorème de Pythagore

BC² + EC² = [(-1 +3)² + (2+4)²] +[(-1 -5)² + (2-0)²]

                 =  [2² + 6)²] +[(-6)² + (2)²]

                 = 40 + 40

                 = 80

BE = AB + AE = 2√5 + 2√5 = 4√5

BE² = (4√5)² = 16 x 5 = 80

Donc (BC) ⊥ (EC)

3) montrer que les distances AB et AD sont égales

AB = 2√5  déjà calculée en 1)

AD = √(3-1)² + (2 + 2)² = √4 + 16 = √20 = 2√5

Donc AB = AD = 2√5

4) montrer que le cercle de diamètre AB passe par les points C et D

le cercle de centre A et de rayon  R = BE/2 = 4√5/2 = 2√5

AC = √(-1-1)² + ((2 +2)² = √4 + 16 = √20 = 2√5

donc AC = R ⇒ le point C ∈ au cercle 

AD = 2√5 = R ⇒le point D ∈ au cercle

5) déterminer les cordonnées du point M pour que vect(BM) = vect(AC)

(x + 3 ; y + 4) = (-1 - 1 ; 2 + 2) = (- 2 ; 4)

x + 3 = - 2 ⇒ x = - 5

y + 4 = 4   ⇒ y = 0

M(- 5 ; 0)