Verified answer

bonjour

pour 1) 
voir fichier joint

2)
limites de f en -∞
f(x) = √(x*2 / x*(3+1/x))

on peut simplifier par x

comme 1/x tend vers 0 quand x tend vers ∞
alors 3 +(1/x ) tend vers 3

donc f tend vers √(2/3)
idem pour limite en +∞

limite en 0  avec x≥0
√(0/1) = 0

donc lim de f en 0 par valeurs positives
= 0

limite en -1/3   avec x < -1/3

limite de f ≈ 0

c'est la calculatrice qui me donne cette valeur !

asymptotes

( voir les théorèmes de ton cours)

donc la courbe admet  en - ∞

une asymptote horizontale d'équation

 y =√( 2/3)

et en +∞

une asymptote horizontale d'équation

 y =√( 2/3)

3)

pour étudier les variations il faut chercher la dérivée

puis étudier son signe.

je te donne la dérivée

il faut utiliser la formule des dérivées composées.

pour √(2x )

 la dérivée c'est 1/(√2x)  formule directe de (√x)'

pour √(3x+1) 

il faut utiliser la formule 

u ^n = n u' u^(n-1)

sachant que  √(3x+1)  = (3x+1) ^1/2

en définitive tu trouveras pour la dérivée de f

√2    /    [2(3x+1)√(3x²+x)]

√2 est toujours positif

dénominateur = [2(3x+1)√(3x²+x)]

= [2(3x+1)√x × √(3x+1)]

tu fais un tableau de signes

avec x=0 et x = -1/3  comme racines

4)

tableau de variations en fichier joint