Bonsoir,  

1) les droites (AB) et (AC) sont sécantes en A et de plus MN // BC

Donc selon le théorème de Thalès, on  a : AM / AB =AN/AC = MN /BC  

on a donc :   x/ AB = 6/AC = 4/2x    donc  AB =  2x² /4 = x² /2

et  AC =  6 (x²/2)  / x =  3x² /x = 3x

Le périmètre de ABC = AB +BC+ AC =  x²/2 +  2x +3x =  x²/2 +5x = (x² +10x ) / 2

2)  Soit A = x²+10x-24  et  B =  (x+5)²-49  

A = B si A-B = 0

x²+10x-24 - ((x+5)²-49) =  x²+10x -24 - (  x²+10x +25 -49)  

                                     =  x²+10x -24 -x²-10x +24

                                      =  0

Conclusion :  A-B = 0  donc  x²+10x -24 = (x+5)²-49

3)  trouver x tel que  P(x) = 12 reviens à résoudre  :   (x²+10x )/ 2 -12 = 0

                                                                                     x²+ 10x -24 = 0

                                                                                      (x+5)²-49=0

                                                                                     (  (x+5) +7) ( ( x+5) -7 )  =0

  Un produit de facteur est nul si un des facteurs est nul.

Soit deux solutions :  (x+5) +7 = 0

                                     x +12 = 0

                                              x = -12

                                      ou x+5-7 = 0  

                                           x -2 = 0

                                          x = 2

Conclusion : si x = 2 alors  p(x) = 12 .  La première solution (-12) est rejeté car une longueur ne peut pas être négative.  

vérifions :  p(x) = (x²+10x) /2    

              si x = 2 on  a alors  :   4 +20 / 2 =  24/2 = 12