Bonsoir, J'ai ce dernier devoir sur les probabilités à rendre pour demain à 16h. Voici l'énoncé en f.... Pergunta de ideia deSoufianBOUAZAMA

May 2019 1 54 Report

Bonsoir,

J'ai ce dernier devoir sur les probabilités à rendre pour demain à 16h. Voici l'énoncé en fichier joint. Niveau requis pour cet exercice : Terminale S.

Merci d'avance.

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1) a) Voir pièce jointe.

b) Montrer que f est une fonction de densité.

f est positive sur [0 ; +oo[ car λ > 0 et l'exponentielle est > 0
f est continue sur [0 ; +oo[ car c'est le produit d'une l'exponentielle continue par une constante.

Pour tout x ∈ [0 ; +oo[ :

$\int\limits_0^x\lambda e^{-\lambda t}\,dt=[-e^{-\lambda t}]\limits_0^x=-e^{-\lambda x}-(-e^{-\lambda \times0})\\\\=-e^{-\lambda x}-(-1)=1-e^{-\lambda x}\\\\\\\Longrightarrow\lim\limits_{x\to+\infty}\int\limits_0^x\lambda e^{-\lambda t}\,dt=\lim\limits_{x\to+\infty}[1-e^{-\lambda x}]=1-0=1\\\\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}\int\limits_0^x\lambda e^{-\lambda t}\,dt=1}$

Cela signifie que l’aire de la surface située sous la courbe de f et l'axe des abscisses sur [0 ; + ∞ [ est égale à 1.
De plus, nous savons que l’aire de la surface située sous la courbe de f et l'axe des abscisses sur ]-oo ; 0[ est égale à 0.

Par conséquent, f est une fonction de densité sur R.

2) Pour tout réel positif t,

$P(T\le t)=\int\limits_0^t\lambda e^{-\lambda x}\,dx=[-e^{-\lambda x}]\limits_0^t=-e^{-\lambda t}-(-e^{-\lambda \times0})\\\\=-e^{-\lambda t}-(-1)=1-e^{-\lambda t}\\\\\Longrightarrow\boxed{P(T\le t)=1-e^{-\lambda t}}$

$3)\ a)\ \int\limits_0^xg'(t)\,dt=[g(t)]\limits_0^x=[-te^{-\lambda t}]\limits_0^x=-xe^{-\lambda x}-0=-xe^{-\lambda x}\\\\\Longrightarrow\boxed{\int\limits_0^xg'(t)\,dt=-xe^{-\lambda x}}$

D'autre part,

$g'(t)=[-te^{-\lambda t}]'=-1\times e^{-\lambda t}+(-t)\times (-\lambda e^{-\lambda t})\\\\g'(t)=-e^{-\lambda t}+t\times\lambda e^{-\lambda t}$

D'où,

$\int\limits_0^xg'(t)\,dt=\int\limits_0^x[-e^{-\lambda t}+t\times\lambda e^{-\lambda t}]\,dt\\\\\\=[\dfrac{1}{\lambda}e^{-\lambda t}]\limits_0^x+\int\limits_0^xt\times\lambda e^{-\lambda t}\,dt\\\\\\=\dfrac{1}{\lambda}[e^{-\lambda x}-1]+\int\limits_0^xt\times\lambda e^{-\lambda t}\,dt\\\\\\\Longrightarrow\boxed{\int\limits_0^xg'(t)\,dt=\dfrac{1}{\lambda}[e^{-\lambda x}-1]+\int\limits_0^xt\times\lambda e^{-\lambda t}\,dt}$

En identifiant les deux encadrés, nous obtenons :

$\dfrac{1}{\lambda}[e^{-\lambda x}-1]+\int\limits_0^xt\times\lambda e^{-\lambda t}\,dt=-xe^{-\lambda x}\\\\\\\int\limits_0^xt\times\lambda e^{-\lambda t}\,dt=-xe^{-\lambda x}-\dfrac{1}{\lambda}[e^{-\lambda x}-1]\\\\\\\int\limits_0^xt\times\lambda e^{-\lambda t}\,dt=-xe^{-\lambda x}-\dfrac{1}{\lambda}e^{-\lambda x}+\dfrac{1}{\lambda}\\\\\\\int\limits_0^xt\times\lambda e^{-\lambda t}\,dt=-(x+\dfrac{1}{\lambda})e^{-\lambda x}+\dfrac{1}{\lambda}$

Donc

$\\\\\\E(T)=\lim\limits_{x\to+\infty}\int\limits_0^xt\times\lambda e^{-\lambda t}\,dt\\\\\\E(T)=\lim\limits_{x\to+\infty}[-(x+\dfrac{1}{\lambda})e^{-\lambda x}+\dfrac{1}{\lambda}]\\\\\\E(T)=\lim\limits_{x\to+\infty}[-(x+\dfrac{1}{\lambda})e^{-\lambda x}]+\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{\lambda}\\\\\\E(T)=0+\dfrac{1}{\lambda}\\\\\\\boxed{E(T)=\dfrac{1}{\lambda}}$

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