Bonsoir, j'aurai besoin d'aide pour les questions 2 et 3 svp. Exercice de maths terminale S, ça conc.... Pergunta de ideia dewidadh

October 2020 1 85 Report

Bonsoir, j'aurai besoin d'aide pour les questions 2 et 3 svp. Exercice de maths terminale S, ça concerne les suites.
Je vous remercie de l'attention que vous porterez à ma demande.

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godetcyril

Réponse : Bonsoir,

2)a) $u_{n+1}-u_{n}=5 \times \sqrt{u_{n}}-u_{n}=\sqrt{u_{n}}(5-\sqrt{u_{n}})$

Or d'après la question 1), pour tout entier naturel n, $1 \leq u_{n} \leq 25$ , donc $1 \leq \sqrt{u_{n}} \leq 5$ , et donc:

$-1 \geq -\sqrt{u_{n}} \geq -5\\4 \geq 5-\sqrt{u_{n}} \geq 0$

On a donc pour tout entier naturel n, $5-\sqrt{u_{n}} \geq 0$ , de plus, $\sqrt{u_{n}} \geq 0$ , d'après la définition de la racine carrée.

On en déduit que pour tout entier naturel n, $u_{n+1}-u_{n} \geq 0$ , et donc que $u_{n} \leq u_{n+1}$ .

La suite $(u_{n})$ est donc une suite croissante.

Comme pour tout entier naturel n, $1 \leq u_{n} \leq 25$ , on en déduit que la suite $(u_{n})$ est majorée par 25.

De plus, on vient de voir que la suite $(u_{n})$ est croissante, la suite $(u_{n})$ est donc convergente.

3)a)

$v_{n+1}=\ln(u_{n+1})-\ln(25)=\ln(5 \times \sqrt{u_{n}})-\ln(25)=\ln(5)+\ln(\sqrt{u_{n}})-\ln(25)\\=\ln(5)+\ln(u_{n}^{\frac{1}{2}})-\ln(25)=\frac{1}{2}\ln(u_{n})+\ln(5)-\ln(25)=\frac{1}{2}\ln(u_{n})+\ln(\frac{5}{25})\\=\frac{1}{2}\ln(u_{n})+\ln(\frac{1}{5})=\frac{1}{2}\ln(u_{n})+\ln(1)-\ln(5)=\frac{1}{2}\ln(u_{n})-\ln(5)\\=\frac{1}{2}\ln(u_{n})-\ln(\sqrt{25})=\frac{1}{2}\ln(u_{n})-\ln(25^{\frac{1}{2}})=\frac{1}{2}\ln(u_{n})-\frac{1}{2}\ln(25)\\=\frac{1}{2}(\ln(u_{n})-\ln(25))=\frac{1}{2}v_{n}$

On en déduit que la suite $(v_{n})$ est géométrique de raison $q=\frac{1}{2}$ .

b) On a donc:

$v_{n}=v_{0} \times (\frac{1}{2})^{n}\\v_{0}=\ln(u_{0})-\ln(25)=\ln(1)-\ln(25)=-\ln(25)\\v_{n}=-\ln(25) \times (\frac{1}{2})^{n}$

$v_{n}=-\ln(25) \times \frac{1}{2^{n}}=-\ln(5^{2}) \times 2^{-n}=-2\ln(5) \times 2^{-n}=-\ln(5)2^{1-n}$

Déduisons en l'expression de $u_{n}$ en fonction de n:

$v_{n}=\ln(u_{n})-\ln(25)\\v_{n}=\ln(\frac{u_{n}}{25})\\e^{v_{n}}=e^{\ln(\frac{u_{n}}{25})}\\\frac{u_{n}}{25}=e^{v_{n}}\\u_{n}=25e^{v_{n}}$

Donc pour tout entier naturel n,

$u_{n}=25e^{v_{n}}=25e^{-\ln(5)2^{1-n}}$

c) On a que:

$v_{n}=-\ln(5)2^{1-n}=-\ln(5)2 \times \frac{1}{2^{n}}$

Or $\lim_{n \mapsto +\infty} \frac{1}{2^{n}}=0$ , d'où $\lim_{n \mapsto +\infty} v_{n}=0$ .

On en déduit finalement que:

$\lim_{n \mapsto +\infty} u_{n}=\lim_{n \mapsto +\infty} 25e^{v_{n}}=25e^{0}=25$ .

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widadh January 2021 | 0 Respostas

Bonjour quelqu'un peut il m'aider a faire l'EXERCICE10 il est en piece jointe .Merci et bonne journee.

widadh January 2021 | 0 Respostas

widadh January 2021 | 0 Respostas

URGENT SVP C'EST RAPIDE Bonjour je suis en 3eme, pouvez m'aider pour cette exercice ? EXERCICE Calculez le volume de la Lune sachant que son diametre est de 3474 km environ

widadh January 2021 | 0 Respostas

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widadh January 2021 | 0 Respostas

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widadh January 2021 | 0 Respostas

Bonjour est ce quelqun pourrait m'aider , merci d'avance

widadh January 2021 | 0 Respostas

Bonjour est ce que quelqun pourrait m'aider ? Merci d'avance cest assez urgent

widadh January 2021 | 0 Respostas

widadh January 2021 | 0 Respostas

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