Bonsoir,

On a f(x) = -1/2 (x - 2)² - 1

•1) On a la forme canonique de la fonction f de la forme f(x) = a(x - alpha) + bêta avec les coordonnées de l'extremum (alpha ; bêta).

Puisqu'on a : a = -1/2 < 0, alors la courbe est de la forme d'un U à l'envers.

Donc la fonction f est :

• croissante entre ]-∞;2[

• décroissante entre ]2;+∞[

• les coordonnées du maximum (2;-1)

Oui on peut factoriser f : f(x) = -1/2 (x - 2)² - 1, on a (x - 2)² - 1² est une identité remarquable de la forme a² - b² = (a - b)(a + b)

•2) On a : f(x) = x² - 4x + 3

(x - 3)(x - 1) = x² - x - 3x + 3 = x² - 4x + 3

Donc f(x) = (x - 3)(x - 1).

D'après la question précédente on peut en conclure que (x - 2)² - 1 = (x - 3)(x - 1).

On a alors la forme factorisée de f(x) = -1/2 (x - 2)² - 1 qui est :

f(x) = -1/2 (x - 3)(x - 1)

•3) f(x) = -2(x - 3)² + 2

1) Forme développée de f(x) :

f(x) = -2(x - 3)² + 2

f(x) = -2(x² - 6x + 9) + 2

f(x) = -2x² + 12x - 18 + 2

f(x) = -2x² + 12x - 16

2) Forme factorisée de f(x) :

f(x) = -2x² + 12x - 16

∆ = b² - 4ac

∆ = 12² - 4×(-2)×(-16)

∆ = 16 > 0

Donc il y a 2 racines :

x1 = (-b-√∆)/2a

x1 = (-12-√16)/(2×(-2))

x1 = (-16)/-4

x1 = 4

x2 = (-b+√∆)/2a

x2 = (-12+√16)/(2×(-2))

x2 = (-8)/(-4)

x2 = 2

Forme factorisée d'un polynôme du second degré : a(x - x1)(x - x2)

Donc on a : f(x) = -2(x - 4)(x - 2)

3)a• f(0) = -2×0² + 12×0 - 16

f(0) = -16

La courbe P coupe l'axe des ordonnées au point (0;-16)

3)b• f(x) = 0

-2(x - 4)(x - 2) = 0 produit nul

Donc on a :

• soit x - 4 = 0 donc x = 4

• soit x - 2 = 0 donc x = 2

3)c• Puisque a = -2 < 0, alors la courbe est en forme d'un U à l'envers, elle est :

• croissante entre ]-∞;3[

• décroissante entre ]3;+∞[

3)d• f(x) = -2(x - 3)² + 2

Son maximum est 2 atteint pour x = 3.

Voir la pièce jointe pour la représentation graphique des courbes.