Réponse :

133)

1) combien aura-t-il dans son porte monnaie le 2 janvier au matin

au 1 er janvier 2019 au matin: il a 40 € dans son porte monnaie

  au cours de la journée du 1er janvier 2019, il dépense le quart

    soit  40/4 = 10 €  donc il lui reste dans son porte monnaie 30 €

  le soir il ajoute à son porte monnaie  30 + 25 = 55 €

2) donner les valeurs de U0 ; U1  et U2

         U0 = 40

         U1 = 55 = 30 + 25

         U2 = (55/4 = 13.75  et 55 - 13.75 = 41.25  et 41.25 + 25 = 66.25)

          donc U2 = 66.25 = 41.25 + 25

3) la suite (Un) est - elle arithmétique ? géométrique ?

           (U1 - 25)/U0 = 30/40 = 0.75

           (U2 - 25)/(U1 - 25) = 41.25/30 = 0.75

donc  (U1 - 25)/U0 = (U2 - 25)/(U1 - 5) = .... (Un+1 - 25)/Un = 0.75

donc (Un) est une suite géométrique de premier terme U0 = 40 et  de raison q = 0.75

4) justifier que pour tout n ∈ N , Un+1 = 0.75Un + 25

pour tout n ∈ N , on a (U1 - 25)/U0 = (U2 - 25)/(U1 - 5) = .... (Un+1 - 25)/Un = 0.75

donc Un+1 - 25/Un = 0.75  ⇔ Un+1 - 25 = 0.75Un  ⇔ Un+1 = 0.75Un + 25

5) soit (Vn) une suite définie pour tout n de N par  Vn = Un - 100

 a) démontrer que (Vn) est une suite géométrique de raison 0.75

              Vn+1/Vn = Un+1 - 100)/(Un - 100) = 0.75Un + 25 - 100)/(Un - 100)

                 = 0.75Un - 75)/(Un - 100) = 0.75(Un - 100)/(Un - 100) = 0.75

          b) déterminer la valeur de V0

                    Vn = Un - 100  ;  V0 = U0 - 100 = 40 - 100 = - 60

         c) en déduire l'expression de Vn en fonction de n

              Vn = V0 x q^n = - 60 x (0.75)ⁿ

         d) Vn = Un - 100  donc  Un = Vn + 100  ;  Un = - 60 x (0.75)ⁿ + 100

         e) U15 = - 60 x (0.75)¹⁵ + 100 ≈ 99.2 €

Explications étape par étape