Réponse :

Explications étape par étape :

bonsoir

   a) La droite (AB) étant perpendiculaire à la droite (BC), on a :

MB² = AB² - AM² = 6² - x²

En prenant la racine carrée des deux membres, on obtient :

MB = √(6² - x²)

b) Comme (BC) est perpendiculaire à (AB), on a :

MC = BC - MB = 2 - √(6² - x²)

c) L'aire du carré AMFG est donnée par la formule :

A1 = AM²

Et l'aire du carré MCDE est donnée par la formule :

A2 = MC²

En remplaçant MC par son expression en fonction de x, on obtient :

A2 = (2 - √(6² - x²))² = 4 - 4√(6² - x²) + (6² - x²)

En développant, on obtient :

A2 = x² - 4√(6² - x²) + 4

   Pour calculer l'aire du motif constitué des deux carrés gris, il suffit de faire la somme des deux aires précédentes :

f(x) = A1 + A2

f(x) = AM² + MC²

f(x) = x² + (x² - 4√(6² - x²) + 4)

En simplifiant, on obtient :

f(x) = 2x² - 4√(6² - x²) + 4

Pour obtenir la forme demandée, il suffit de développer le terme en racine carrée :

f(x) = 2x² - 4(36 - x²)^(1/2) + 4

f(x) = 2x² - 4(36)^(1/2) + 4x

En utilisant que 36 = 6², on peut encore simplifier :

f(x) = 2x² - 4√6² + 4x

f(x) = 2x² - 12x + 40

Donc on a bien montré que f(x) = 2x² - 12x + 40.