Réponse :

2) K milieu de (AC) ⇒ K((-4+4)/2 ; 1/2) = K(0 ; 1/2)

3) soit D(x ; y)  et K milieu de (BD) ⇒ K((x+2)/2 ; (y+4)/2)

donc  (x+2)/2 = 0 ⇔ x + 2 = 0 ⇔ x = - 2

         (y + 4)/2 = 1/2 ⇔ y + 4 = 1 ⇔ y = - 3

les coordonnées de D(- 2 ; - 3)

4) puisque les diagonales (AC) et (BD) ont le même milieu K  donc

ABCD est un parallélogramme

5) AB² = (2 - 4)²+ 4² = 4 + 16 = 20

    AC² = (- 4 - 4)²+ 1² = 64 + 1 = 65

    BC² = (- 4 - 2)² + (1 - 4)² = 36 + 9 = 45

6) en déduire la nature du triangle ABC

  d'après la réciproque du th.Pythagore on a; AB²+BC² = AC²

donc on en déduit que le triangle ABC est rectangle en B

7) conclure

  le quadrilatère ABCD est parallélogramme et ayant un angle droit en B

donc ABCD est un rectangle

8) soit E'(x ; y) ,  on écrit  EK = KE' ⇔ (0 - (1+a) ; 1/2 - 2) = (x ; y - 1/2)

⇔(- (1+a) ; - 3/2) = (x  ; y - 1/2)  ⇔ x = - (1 + a)  et y - 1/2 = - 3/2

⇔ y = - 3/2 + 1/2 = - 2/2 = - 1

les coordonnées de E'(-(1+a) ; - 1)

9) puisque les diagonales (AC) et (EE') ont le même milieu K donc

AECE' est un parallélogramme

10) déterminer les valeurs de a telles que AECE' soit un rectangle

le triangle AEC

AC² = 65  déjà fait ci-dessus en 5)

AE² = ((1+a) - 4)² + 2² = (a - 3)² + 4 = a² - 6 a + 9 + 4 = a² - 6 a + 13

EC² = (- 4 - (a+1))² + 1 = (- a - 5)² + 1 = a² + 10 a  + 26

⇔  a² - 6 a + 13 +  a² + 10 a  + 26 = 65

⇔ 2 a² + 4 a  - 26 = 0  équation du second degré

Δ = 16 + 208 = 224 ⇒ √Δ  = 4√14

a1 = - 4 + 4√14)/4  = - 1 + √14

a2 = - 4 - 4√14)/4 = - 1 - √14

Explications étape par étape