1) ∀ [tex]x[/tex] ∈ R on a : [tex]f(x) = xe^x+1[/tex]

f est dérivable sur R comme produit de fonctions dérivables.

∀ [tex]x[/tex] ∈ R :

[tex]f'(x)=(1\times e^x+e^x\times x)+0[/tex]

[tex]f'(x)=e^x(1+x)[/tex]

[tex]f'[/tex]est dérivable sur R comme produit de fonctions dérivables.

∀ [tex]x[/tex] ∈ R :

[tex]f''(x)=e^x\times(1+x)+1\times e^x[/tex]

[tex]f'(x)=e^x(1+x+1)[/tex]

[tex]f'(x)=e^x(x+2)[/tex]

Déterminons le signe de [tex]f''[/tex] :

∀ [tex]x[/tex] ∈ R, [tex]e^x\geq 0[/tex] et [tex]x+2\geq 0[/tex] ⇔[tex]x\geq 2[/tex]

On peut donc dresser le tableau de signes de [tex]f''[/tex] suivant :

[tex]x[/tex]       | -∞       2       +∞

[tex]e^x[/tex]      |           +

[tex]x+2[/tex] |     -     0    +  

[tex]f''(x)[/tex] |     -     0    +

Comme [tex]f''[/tex] est négative sur ]-∞ ; 2] et positive sur [2 ; +∞[ ,

alors [tex]f[/tex] est concave sur ]-∞ ; 2] et convexe sur [2 ; +∞[, en admettant un point d'inflexion d'abscisse [tex]x=2[/tex].

2) L'équation réduite de la tangente à [tex]C_f[/tex] au point d'abscisse 0 s'obtient par la formule suivante :

[tex]y=f'(0)(x-0)+f(0)=f'(0)\times x+f(0)[/tex]

Or, [tex]f'(0)=e^0(0+2)=1\times 2=2[/tex]

et [tex]f(0) = 0\times e^0+1=1[/tex]

Donc : [tex]y=2x+1[/tex]

3) On ne voit pas la fin de la question.