Bonsoir ! Pouvez vous m'aider s'il vous plais ?
Dans un repère orthonormé (O;I;J) on donne A(3;0), B(0;2), et C(3;2)
Pour tout point M(m;0) avec m>3, la droite (CM) recoupe l'axe (oy) en N (voir figure)
Où doit-on placer le point M pour que l'aire du triangle BNC soit plus grande (ou égale) à celle du triangle AMC ?
Dans un repère orthonormé (O;I;J) on donne A(3;0), B(0;2), et C(3;2)
Pour tout point M(m;0) avec m>3, la droite (CM) recoupe l'axe (oy) en N (voir figure)
Où doit-on placer le point M pour que l'aire du triangle BNC soit plus grande (ou égale) à celle du triangle AMC ?
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Bonjouréquation de la droite (CM) dans le repère : y = ax + b
C ∈ (CM) ⇒ 2 = 3a + b
M ∈ (CM) ⇒ 0 = ma + b
⇒ 3a - ma = 2 ⇔ a = 2/(3 - m)
et b = -ma = -2m(3 - m)
Donc (CM) : y = 2x/(3 - m) - 2m(3 - m)
N(0;yN) ∈ (CM) ⇒ yN = -2m/(3 - m)
Aire BNC = BCxBN/2 = 3(yN - 2)/2
Aire AMC = ACxAM/2 = 2(m - 3)/2 = m - 3
Aire BNC ≥ Aire AMC
⇔ 3(yN - 2)/2 ≥ m - 3
⇔ 3yN - 6 ≥ 2m - 6
⇔ 3yN ≥ 2m
⇔ -6m/(3 - m) ≥ 2m
⇔ -6m ≤ 2m(3 - m) (m>3 donc 3 - m < 0)
⇔ -6m ≤ 6m - 2m²
⇔ 2m² - 12m ≤ 0
⇔ m(m - 6) ≤ 0
m > 0 donc il faut (m - 6) ≤ 0
Soit m ≤ 6
donc m ∈ ]3 ; 6]