Bonsoir Pouvez-vous m’aider svp. Merci beaucoup ;).... Pergunta de ideia deElo15

Elo15 @Elo15

June 2022 1 166 Report

Bonsoir

Pouvez-vous m’aider svp.
Merci beaucoup ;)

Lista de comentários

Micka44

Salut Elo :)

Partie A : la règle des 72

Question 1

$Pour\ t=1\%,\ on\ a:\ n=\frac{72}{1}=72\ ans\\\\Pour\ t=5\%,\ on\ a:\ n=\frac{72}{5}=14,4\approx15\ ans\\\\Pour\ t=10\%,\ on\ a:\ n=\frac{72}{10}=7,2\approx8\ ans$

Question 2,a

$Pour\ t=1\%,\ on\ a:\\(1+\frac{1}{100})^{n}\ge2\\\\n*ln(1+\frac{1}{100})\ge\ ln(2)\\\\n\ge\ \frac{ln(2)}{ln(1+\frac{1}{100})}\approx70\ ans\\\\Pour\ t=5\%,\ on\ a:\\(1+\frac{5}{100})^{n}\ge2\\\\n*ln(1+\frac{5}{100})\ge\ ln(2)\\\\n\ge\ \frac{ln(2)}{ln(1+\frac{5}{100})}\approx15\ ans\\\\Pour\ t=10\%,\ on\ a:\\(1+\frac{10}{100})^{n}\ge2\\\\n*ln(1+\frac{10}{100})\ge\ ln(2)\\\\n\ge\ \frac{ln(2)}{ln(1+\frac{10}{100})}\approx8\ ans$

Question 2,b

$\text{Nous retrouvons les m\^emes r\'esultats avec les deux m\'ethodes sauf pour}\\\text{le cas o\`u t=1}\%.\\\\\text{La r\`egle des 72 semble mieux fonctionner pour des valeurs de t}\ge1\%$

Partie B : une autre estimation

Question 1,a

$Rappel\ d\'eriv\'ee:\\(ln(u))'=\frac{u'}{u}\\\\f'(x)=\frac{1}{1+x}-1+x\\\\f'(x)=\frac{x^{2}}{1+x}\ \forall x\in\mathbb R\ sauf\ (-1)\\\\x^{2}\ge0\ sur\ x\in\mathbb R\\\\1+x>0\ sur\ x\in[0;+\infty]\\\\f'(x)\ge0\ sur\ x\in[0;+\infty]\\\\f(x)\ est\ strictement\ croissant\ sur\ l'intervalle\ [0;+\infty]\\\\g'(x)=\frac{1}{1+x}-1\\\\g'(x)=\frac{-x}{1+x}\ \forall x\in\mathbb R\ sauf\ (-1)\\\\g'(x)\le0\ sur\ [0;+\infty]\\\\g(x)\ est\ strictement\ d\'ecroissante\ sur\ [0;+\infty]$

Question 1,b

$f(0)=0\ et\ f(x)\ est\ strictement\ croissant\ sur\ [0;+\infty]\\Donc\ f(x)\ge0\ sur\ [0;+\infty]\\\\Ce\ qui\ donne:\\ \Leftrightarrow ln(1+x)-x+\frac{x^{2}}{2}\ge0\\\\\Leftrightarrow \boxed{ln(1+x)\ge x-\frac{x^{2}}{2}}$

$g(0)=0\ et\ f(x)\ est\ strictement\ d\'ecroissante\ sur\ [0;+\infty]\\Donc\ g(x)\le0\ sur\ [0;+\infty]\\\\Ce\ qui\ donne:\\ \Leftrightarrow ln(1+x)-x\le0\\\\\Leftrightarrow \boxed{ln(1+x)\le x}$

$\forall x\in [0;+\infty],\ x-\frac{x^{2}}{2}\le ln(1+x)\le x$

Question 2,a

$On\ sait\ que\ n=\frac{ln(2)}{ln(1+\frac{t}{100})}\\\\ln(1+x)\approx x\ \Rightarrow ln(1+\frac{t}{100})\approx \frac{t}{100}\\\\Donc\ n=\frac{ln(2)}{\frac{t}{100}}=\frac{ln(2)*100}{t}\approx \frac{70}{t}$

Question 2,b

$Pour\ doubler,\ on\ avait:\ (1+\frac{t}{100})^{n}\ge2\\\\Pour\ tripler,\ on\ a:\ (1+\frac{t}{100})^{n}\ge3\\\\Donc\ n=\frac{ln(3)}{ln(1+\frac{t}{100})}\approx \frac{ln(3)}{\frac{t}{100}}\approx \frac{110}{t}$

J'espère que ceci te conviendra ! n'hésite pas à revenir vers moi si tu bloques encore sur des trucs, je peux répondre à tes questions :))

Bonne continuation :))

2 votes Thanks 1

Micka44 Bonjour, merci pour ta gentillesse mais ne t'en fais pas pour moi ^^ je n'ai pas besoin de devenir génie ^^ :D

slzlzjmz Je suis juste reconnaissant de la gentillesse que tu propose en aidant beaucoup de personnes avec une qualité de réponse extraordinaire.

slzlzjmz D'ailleurs comment fais-tu pour rédiger comme ça, par exemple encadrer les réponses finales, etc ?

Micka44 Quand tu rédiges une réponse sur ND, tu peux utiliser le symbole "Equations" qui te permet de rédiger de cette manière avec le langage LaTex, qui est un langage bien spécifique très utilisée pour les maths notamment. :))

slzlzjmz Ah d'accord, merci et bonne fin de soirée !

Micka44 Merci à toi aussi, bonne soirée ! ;)

Elo15 micka j'ai une question

Micka44 oui ? ))

Micka44 :)) *

Elo15 non tkt ;)) c'est fait merci beaucoupp encore