1°) Pour déterminer f(0),on sait que la courbe passe par A(0 ; 7), donc f(0) = 7 (Comme f est une fonction, à chaque abscisse, correspond au plus une seule ordonnée, donc pas d'autre solution possible.)
Pour déterminer f '(0) : f '(0) est le coefficient directeur de la tangente T à la courbe C au point A(0 ; 7). On sait que cette droite passe aussi par le point B(-2 ; 1). A partir de ces 2 points A et B,on peut donc déterminer le coefficient directeur m de la droite donnée par la formule : Donc, ici : Donc f '(0) = 3 (Comme la tangente passe par le point A (0 ; 7), on peut même déterminer facilement l'équation réduite de cette tangente y = 3x + 7)
Pour déterminer f '(3), on sait que la courbe admet une tangente horizontale au point d'abscisse 3. Le coefficient directeur de cette tangente est donc 0. (Son équation est y = f(3) ) Donc f' (3) = 0
2°) Nous savons que f(0) = 7. Or Donc b+c = 7
Nous savons que f '(3) = 0 Il faut alors utiliser la formule donnant la dérivée d'un produit de fonction : (uv)' = u'v + v'u En effet la dérivée f '(x) de f(x) est celle du produit de (ax +b) par (Il reste bien la constante "c" qui est additionnée mais la dérivée d'une constante est nulle.)
Pour correspondre à la formule (uv)' = u'v + v'u, ici : "u" est la fonction ax+b "v" est la fonction et (uv) ' correspond à f '
La dérivée de ax+b est "a". (Cela correspond à u' dans la formule (uv)' = u'v + v'u )
La dérivée de est elle-même, c'est-à-dire tex]e^{x} [/tex]. (Cela correspond à v' dans la formule (uv)' = u'v + v'u )
Donc la formule (uv)' = u'v + v'u donne ici : Donc, lorsque x=3 : On peut donc mettre en facteur :
Or, nous savons que (résultat de la question 1) Donc ⇔
Nous venons de démontrer ci-dessus que la dérivée de f est f ' telle que (en utilisant (uv)' = u'v + v'u )
Donc
Or nous savons, d'après la réponse à la question 1, que Donc a+b = 3
3°) Nous avons donc maintenant un système de 3 équations du premier degrés avec 3 inconnus. 4a + b = 0 (équation 1) a + b = 3 (équation 2) b+c = 7 (équation 3) Je peux soustraire les équations 1 et 2. Cela donne (4a + b) - (a+b) =0-3 ⇔ 3a = -3 ⇔ a = -1 Donc, en substituant "a" par (-1) dans l'équation 2, on obtient : -1 + b = 3 ⇔ b = 4 En substituant maintenant b par 4 dans l'équation 3, on obtient : 4 + c = 7 ⇔ c = 3
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1°)Pour déterminer f(0),on sait que la courbe passe par A(0 ; 7), donc f(0) = 7
(Comme f est une fonction, à chaque abscisse, correspond au plus une seule ordonnée, donc pas d'autre solution possible.)
Pour déterminer f '(0) : f '(0) est le coefficient directeur de la tangente T à la courbe C au point A(0 ; 7). On sait que cette droite passe aussi par le point B(-2 ; 1).
A partir de ces 2 points A et B,on peut donc déterminer le coefficient directeur m de la droite donnée par la formule :
Donc, ici :
Donc f '(0) = 3
(Comme la tangente passe par le point A (0 ; 7), on peut même déterminer facilement l'équation réduite de cette tangente y = 3x + 7)
Pour déterminer f '(3), on sait que la courbe admet une tangente horizontale au point d'abscisse 3. Le coefficient directeur de cette tangente est donc 0. (Son équation est y = f(3) )
Donc f' (3) = 0
2°)
Nous savons que f(0) = 7.
Or
Donc b+c = 7
Nous savons que f '(3) = 0
Il faut alors utiliser la formule donnant la dérivée d'un produit de fonction :
(uv)' = u'v + v'u
En effet la dérivée f '(x) de f(x) est celle du produit de (ax +b) par
(Il reste bien la constante "c" qui est additionnée mais la dérivée d'une constante est nulle.)
Pour correspondre à la formule (uv)' = u'v + v'u, ici :
"u" est la fonction ax+b
"v" est la fonction
et (uv) ' correspond à f '
La dérivée de ax+b est "a".
(Cela correspond à u' dans la formule (uv)' = u'v + v'u )
La dérivée de
(Cela correspond à v' dans la formule (uv)' = u'v + v'u )
Donc la formule (uv)' = u'v + v'u donne ici :
Donc, lorsque x=3 :
On peut donc mettre
Or, nous savons que
Donc
Nous venons de démontrer ci-dessus que la dérivée de f est f ' telle que
(en utilisant (uv)' = u'v + v'u )
Donc
Or nous savons, d'après la réponse à la question 1, que
Donc a+b = 3
3°)
Nous avons donc maintenant un système de 3 équations du premier degrés avec 3 inconnus.
4a + b = 0 (équation 1)
a + b = 3 (équation 2)
b+c = 7 (équation 3)
Je peux soustraire les équations 1 et 2. Cela donne
(4a + b) - (a+b) =0-3 ⇔ 3a = -3 ⇔ a = -1
Donc, en substituant "a" par (-1) dans l'équation 2, on obtient :
-1 + b = 3 ⇔ b = 4
En substituant maintenant b par 4 dans l'équation 3, on obtient :
4 + c = 7 ⇔ c = 3
L'expression de f(x) est donc :