Réponse :

1)Pour tracer le repère et placer les points utilise une feuille petit carreaux car 2carreaux=1cm

Explications étape par étape

2)En regardant le dessin on voit que les coordonnées de K sont (0;1/2)

vérifications  xK=(xA+xC)/2=(4-4)/2=0  yK=(yA-yC)/2=(0-1)/2=1/2

 K(0; 1/2)

3) Si K est le milieu de [BD] alors

xK=(xD+xB)/2 donc xD=2xK-xB=2*0-2=-2

yK=(yD+yB)/2 donc yD=2yK-kB=2*(1/2)-4=-3

 D(-2;-3)

4) K est le milieu des segments [AC] et [BD]

propriété: un quadrilatère dont les diagonale se coupe en leur milieu est un parallélogramme; ABCD est donc un parallélogramme.

Un parallélogramme est un rectangle s'il a un angle droit , démontrons que ABC est rectangle en B

AC²=(xC-xA)²+(yC-yA)²=(-8)²+(-1)²=65

On utilise la même formule et on trouve AB²=20 et BC²=45

On a donc AC²=AB²+BC²; d'après la réciproque du th. de Pythagore ABC est rectangle en B

ABCD est donc un rectangle.

AB=rac20=2rac5; BC=rac45=3rac5 et BC=rac65

E(a+1; 2)

8)Si E' est le symétrique de E par rapport à K alors K est le milieu de [EE']

xK=(xE+xE')/2  donc xE'=2xK-xE=2*0-(1+a)=-1-a

yK=(yE+yE')/2 donc yE'=2yK-yE=2*(1/2)-2=-1

les coordonnées de E'(-1-a; -1)

9) K est le milieu de [AC] et de [EE']

propriété: un quadrilatère non croisé dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme

AECE' est un parallélogramme.

10) Pour simplifier les calculs je pose 1+a=x  les coordonnées de E sont alors (x; 2)

le quadrilatère AECE' est un rectangle si'il a un angle droit donc si le triangle AEC  est rectangle en E

C'est à dire si AE²+CE²=AC² (Pythagore)

soit (xE-xA)²+(yE-yA)²+(xE-xC)²+(yE-yC)²=65

  (x-4)²+(2-0)²+(x+4)²+(2-1)²=65

x²-8x+16+4+x²+8x+16+1=65

2x²=65-37=28

x²=14 les solutions de cette équation sont x=rac14 et-rac14

Comme j'ai posé x=1+a  alors a=x-1

a1=rac14-1

a2=-rac14 -1