Réponse :

Dès lors que l'on  règles de calculs concernant les complexes sous forme algébrique  (en particulier que i²=-1), les calculs en eux mêmes sont du niveau de 4ème /3ème.

Explications étape par étape

1) Pour visualiser la partie réelle et la partie imaginaire d'un complexe il suffit de le mettre sous la forme z=a+bi

la partie rélle est "a" la partie imaginaire "b".

z=-i-rac3=-rac3- 1i  PR=-rac3  et PI=-1

z=(-1/2)(5-i)=-5/2+(1/2)i   PR=-5/2  et PI=1/2

z=(-2+3i)/(-2)=1-(3/2)i      PR=1 et PI=-3/2

z=i(2i+1)=2i²+1i=-2+1i  PR=-2 et PI=1

2)deux complexes z=a+bi et z'=a'+b'i sont égaux si a=a' et b=b'

(a+3)-5i=-1+(2b+3)i ces deux complexes sont égaux si

a+3=-1  donc a=...  et si  2b+3=-5   donc b=......

(a+2)-(5+b)i=0+5i

solutions a+2=0     a=... et -5-b=5      b=.....

3) on applique le fait que i²=-1

(2i)²=4i²=-4;   (-2i)²=(-2)²i²=4i²=-4;     (V3 i)²=3i²=-3;    

-(2V5 i)²=-20i²=+20

4) on applique les règles de calcul vues en cours

z1=-3+4i et z2=-1+2i

z1+z2=(-3-1)+(4+2)i=-4+6i

z1-z2=(-3+1)+(4-2)i=-2+2i

z1*z2 on fait de la distributivité sachant que i²=-1

(-3+4i)(-1+2i)=+3-4i-6i+8i²=+3-8+(-4-6)i=-5-10i

(z1)²=(-3+4i)²identité remarquable (a-b)²=a²-2ab+b²

(z1)²=(-3+4i)²=9-24i+16i²=9-24i-16=-7-24i

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je te laisse faire les autres

la dernière z1=2+3i  et z2=2-3i

z1+z2=2+2+(3-3)i=4 c'est un réel pur

z1-z2=2-2+(3+3)i=6i c'est un imaginaire pur

le produit z1 *z2 est de la forme (a+b)(a-b) =a²-b²(identité remarquable)

(2+3i)(2-3i)=4-9i²=4+9=13

nota: z2 est appelé le conjugué de z1