Réponse :

Bonsoir

Quelqu un peut il m aider à réaliser cet exercice?

Merci d avance

pour tout entier naturel  n ;  tn = 2ⁿ/(n+2)

1) justifier que pour tout n ∈ N ;  tn > 0

2 > 0  ⇔ 2ⁿ > 0ⁿ  donc 2ⁿ > 0  puisque n ≥ 0

n ≥ 0  ⇔ n + 2 ≥ 2  donc  n +2 > 0

donc  2ⁿ/(n+2) > 0   donc  tn > 0

2) démontrer que, pour tout n ∈ N,  tn+1/tn) - 1 = (n+1)/n+3

tn+1/tn) - 1 = (tn+1/tn) - tn/tn

                 = (tn+1 - tn)/tn

                  = 2ⁿ⁺¹/(n+3)) - 2ⁿ/(n+2)]/2ⁿ/(n+2)

                  = [2ⁿ x 2(n+2) - 2ⁿ(n + 3)]/(n+3)(n+2)/2ⁿ/(n+2)

                  = (2ⁿ(2(n+2) - (n+3))(n+2)/2ⁿ(n+3)(n+2)

                  = (2 n + 4 - n - 3)/(n+3)

                   = (n +1)/(n+3)

3) en déduire le sens de variation de (tn)

sachant  que  tn+1/tn) - 1 = (n+1)/(n+3)

donc  tn+1/tn = (n+1)/(n+3) + 1     or  n+1 > 0 ; n + 3 > 0

donc  tn+1/tn > 1    ⇒ (tn) est une suite croissante sur N    

Explications étape par étape :