a) La loi de probabilité suivie par X est une loi hypergéométrique, car on tire sans remise et on s'intéresse au nombre d'enfants vaccinés contre la rougeole parmi un échantillon de 4 enfants dans une population de taille N (inconnue dans ce cas).
b) Pour déterminer les valeurs exactes de la loi de probabilité, il faut utiliser la formule de la loi hypergéométrique :
P(X = k) = (C_a^k * C_{N-a}^{n-k}) / C_N^n
où a est le nombre d'enfants vaccinés contre la rougeole dans la population, N est la taille de la population (inconnue), n est la taille de l'échantillon (ici n = 4), et C_m^k est le nombre de façons de choisir k éléments parmi m.
Dans ce cas, a est inconnu, donc on ne peut pas donner les valeurs exactes de la loi de probabilité.
c) Pour calculer E(X), on peut utiliser la formule E(X) = n * a/N, où a/N est la proportion d'enfants vaccinés contre la rougeole dans la population. En France, cette proportion est d'environ 0,9, donc E(X) = 4 * 0,9 = 3,6.
Cela signifie que, en moyenne, on peut s'attendre à trouver 3,6 enfants vaccinés contre la rougeole parmi un échantillon de 4 enfants dans une population où 90% des enfants sont vaccinés.
d) Pour calculer σ(X), on peut utiliser la formule σ(X) = sqrt(n * a * (N-a) * (N-n) / (N^2 * (N-1))), où a/N est la proportion d'enfants vaccinés contre la rougeole dans la population et N-1 est le nombre de degrés de liberté. En utilisant les mêmes valeurs que précédemment, on obtient σ(X) = 0,69.
Cela signifie que la distribution des nombres d'enfants vaccinés contre la rougeole parmi les échantillons de taille 4 peut varier d'environ 0,7 enfant autour de la moyenne de 3,6.
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Explications étape par étape:
a) La loi de probabilité suivie par X est une loi hypergéométrique, car on tire sans remise et on s'intéresse au nombre d'enfants vaccinés contre la rougeole parmi un échantillon de 4 enfants dans une population de taille N (inconnue dans ce cas).
b) Pour déterminer les valeurs exactes de la loi de probabilité, il faut utiliser la formule de la loi hypergéométrique :
P(X = k) = (C_a^k * C_{N-a}^{n-k}) / C_N^n
où a est le nombre d'enfants vaccinés contre la rougeole dans la population, N est la taille de la population (inconnue), n est la taille de l'échantillon (ici n = 4), et C_m^k est le nombre de façons de choisir k éléments parmi m.
Dans ce cas, a est inconnu, donc on ne peut pas donner les valeurs exactes de la loi de probabilité.
c) Pour calculer E(X), on peut utiliser la formule E(X) = n * a/N, où a/N est la proportion d'enfants vaccinés contre la rougeole dans la population. En France, cette proportion est d'environ 0,9, donc E(X) = 4 * 0,9 = 3,6.
Cela signifie que, en moyenne, on peut s'attendre à trouver 3,6 enfants vaccinés contre la rougeole parmi un échantillon de 4 enfants dans une population où 90% des enfants sont vaccinés.
d) Pour calculer σ(X), on peut utiliser la formule σ(X) = sqrt(n * a * (N-a) * (N-n) / (N^2 * (N-1))), où a/N est la proportion d'enfants vaccinés contre la rougeole dans la population et N-1 est le nombre de degrés de liberté. En utilisant les mêmes valeurs que précédemment, on obtient σ(X) = 0,69.
Cela signifie que la distribution des nombres d'enfants vaccinés contre la rougeole parmi les échantillons de taille 4 peut varier d'environ 0,7 enfant autour de la moyenne de 3,6.