scoladan

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Bonjour,

EX 1)

1) f'(x) = [x³ + 16 - x(3x²)]/(x³ + 16)²

= (-2x³ + 16)/(x³ + 16)²

= -2(x³ - 8)/(x³ + 16)²

= -2(x - 2)(x² + 2x + 4)/(x³ + 16)²

= -2(x - 2)(x + 2)²/(x³ + 16)²

Le signe de f'(x) ne dépend que du signe de (x - 2)

x        0                    2                           +∞
x-2              -            0          +
f'(x)             +           0           -
f(x)        croissante      décroissante

2) [1;3/2] ⊂ [0;2] ⇒ ∀x∈[1;3/2], f(1) ≤ f(x) ≤ f(3/2)

⇔ 1/17 ≤ f(x) ≤ 12/155    (≤ 4/17 mais énoncé bizarre)

[3;4] ⊂ [2;+∞[ ⇒ ∀x∈[3;4], f(3) ≥ f(x) ≥ f(4)

⇔ 3/43 ≥ f(x) ≥ 4/80     et 4/80 = 1/20

EX 2)

1) f définie sur R et f'(x) = 2x - 2 = 2(x - 1)

g définie sur [-1:+∞[ et g'(x) = 1/2√(x + 1)

x        -∞              1              +∞
f'(x)              -       0      +
f(x)        décrois.     crois.

x        -1                                +∞
g'(x)                    +
g(x)            croissante

2) ci-joint

3) g([-1;0]) = [0;1]

g([0;+∞[) = [1;+∞[

f(]-∞;1]) = [2;+∞[

f([-1;1]) = [2;6]

f([0;+∞[) = [2;+∞[

4) h(x) = x + 4 - 2√(x + 1) sur [-1;+∞[

En posant X = g(x) = √(x + 1), soit x = X² - 1 (sur l'intervalle) :

h(x) = h(X² - 1) = X² - 1 + 4 - 2X = X² - 2X + 3 = f(X) = f[g(x)]

donc h = fog

On en déduit :

Sur ]-1;0], g(]-1:0]) = [0;1] : f est décroissante et g est croissante sur cet intervalle, donc h est décroissante

Sur [0;+∞], g([0;+∞[) = [1;+∞[ :  f et g sont croissantes sur cet intervalle, donc h est croissante

5) Sur [1;+∞[, h est croissante

et h([1;+∞[) = f[g([1;+∞[)] = f([√2;+∞[) = [5-2√2;+∞[ ⇒ h(x) ≥ 0

donc ∀x∈[1;+∞[, x + 4 - 2√(x + 1) ≥ 5 - 2√2

⇔ 2√(x + 1) ≤ x + 4 - 5 + 2√2

⇔ √(x + 1) ≤ x/2 - 1/2 + √2

.... pas mieux ;(