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1°) comme 17 et 19 sont deux nombres premiers,

     ils sont forcément premiers entre eux

           d' où PGCD(17;19) = 1 .

17u + 19v = 1 avec u positif et v négatif  donne

17u - 19w = 1 avec u et w positifs

17u - (17+2)w = 1

■ tentons w = u-1 :

         17u - (17+2)(u-1) = 1

17u - 17u + 17 - 2u + 2 = 1

                       19 - 2u = 1

                              2u = 18

                                u = 9

d' où w = 8 et v = -8 .

conclusion :

17u + 19v = 1 admet comme couple solution (u=9 ; v=-8) .

vérif : 17*9 - 19*8 = 153 - 152 = 1 --> vérifié !

■ remarque :

si la première tentative n' avait pas donné de solution,

j' aurais pu tenter w = u-2 .

2°) 72 ≡ 143 veut bien dire qu' on peut avoir

      215 ou 358 ou 501 ou ... au lieu de 72 .

72 = 2 x 36 = 2² x 18 = 2² x (17+19) /2 = 2 x (17+19) .

106= 2 x 53 ( "53" est un nb premier ) . 53 = 2x17 + 19 .

143 = 2x72 - 1 = 4x17 + 4x19 - 1 = 5x17 + 3x19 + 1 .

on est d' accord que Tu renvoies au travail de Nicolas M ( page 16/24 ) qui est un peu hermétique pour moi . Si quelqu' un pouvait expliquer un peu "simplement" avec tes données chiffrées, cela serait intéressant ! MERCI "Master Mind" ! ☺